名称 公式 倒数关系 sin x ⋅ csc x = 1 \sin x \cdot \csc x = 1 sin x ⋅ csc x = 1 cos x ⋅ sec x = 1 \cos x \cdot \sec x = 1 cos x ⋅ sec x = 1 tan x ⋅ cot x = 1 \tan x \cdot \cot x = 1 tan x ⋅ cot x = 1 商数关系 tan x = sin x cos x \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} tan x = cos x sin x cot x = cos x sin x \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} cot x = sin x cos x 平方关系 sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1 1 + tan 2 x = sec 2 x 1 + \tan^2 x = \sec^2 x 1 + tan 2 x = sec 2 x 1 + cot 2 x = csc 2 x 1 + \cot^2 x = \csc^2 x 1 + cot 2 x = csc 2 x
函数 公式 正弦 sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β 余弦 cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β 正切 tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} tan ( α + β ) = 1 − tan α tan β tan α + tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β
函数 公式 正弦 sin 2 α = 2 sin α cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α cos α 余弦 cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α 正切 tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α \tan 2\alpha = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} tan 2 α = 1 − tan 2 α 2 tan α
函数 公式 正弦 sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α 余弦 cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α 正切 tan 3 α = 3 tan α − tan 3 α 1 − 3 tan 2 α \tan 3\alpha = \dfrac{3\tan\alpha - \tan^3\alpha}{1 - 3\tan^2\alpha} tan 3 α = 1 − 3 tan 2 α 3 tan α − tan 3 α
函数 公式 正弦 sin α 2 = ± 1 − cos α 2 \sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}} sin 2 α = ± 2 1 − cos α 余弦 cos α 2 = ± 1 + cos α 2 \cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}} cos 2 α = ± 2 1 + cos α 正切 tan α 2 = ± 1 − cos α 1 + cos α = sin α 1 + cos α = 1 − cos α sin α \tan\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \dfrac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} tan 2 α = ± 1 + cos α 1 − cos α = 1 + cos α sin α = sin α 1 − cos α
公式 sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} sin α + sin β = 2 sin 2 α + β cos 2 α − β sin α − sin β = 2 cos α + β 2 sin α − β 2 \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}\sin\dfrac{\alpha - \beta}{2} sin α − sin β = 2 cos 2 α + β sin 2 α − β cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} cos α + cos β = 2 cos 2 α + β cos 2 α − β cos α − cos β = − 2 sin α + β 2 sin α − β 2 \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\sin\dfrac{\alpha - \beta}{2} cos α − cos β = − 2 sin 2 α + β sin 2 α − β
公式 sin α cos β = 1 2 [ sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ] \sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] sin α cos β = 2 1 [ sin ( α + β ) + sin ( α − β )] cos α sin β = 1 2 [ sin ( α + β ) − sin ( α − β ) ] \cos\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] cos α sin β = 2 1 [ sin ( α + β ) − sin ( α − β )] cos α cos β = 1 2 [ cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ] \cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] cos α cos β = 2 1 [ cos ( α + β ) + cos ( α − β )] sin α sin β = − 1 2 [ cos ( α + β ) − cos ( α − β ) ] \sin\alpha\sin\beta = -\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)] sin α sin β = − 2 1 [ cos ( α + β ) − cos ( α − β )]
令t = tan α 2 t = \tan\dfrac{\alpha}{2} t = tan 2 α
函数 用t t t sin α \sin\alpha sin α 2 t 1 + t 2 \dfrac{2t}{1 + t^2} 1 + t 2 2 t cos α \cos\alpha cos α 1 − t 2 1 + t 2 \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2} 1 + t 2 1 − t 2 tan α \tan\alpha tan α 2 t 1 − t 2 \dfrac{2t}{1 - t^2} 1 − t 2 2 t
对于a sin x + b cos x a\sin x + b\cos x a sin x + b cos x
形式 公式 正弦形式 a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + φ ) a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi) a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + φ ) tan φ = b a \tan\varphi = \dfrac{b}{a} tan φ = a b 余弦形式 a sin x + b cos x = a 2 + b 2 cos ( x − θ ) a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - \theta) a sin x + b cos x = a 2 + b 2 cos ( x − θ ) tan θ = a b \tan\theta = \dfrac{a}{b} tan θ = b a
公式 sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 \sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2} sin 2 α = 2 1 − cos 2 α cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 \cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2} cos 2 α = 2 1 + cos 2 α sin 3 α = 3 sin α − sin 3 α 4 \sin^3\alpha = \dfrac{3\sin\alpha - \sin 3\alpha}{4} sin 3 α = 4 3 sin α − sin 3 α cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 \cos^3\alpha = \dfrac{3\cos\alpha + \cos 3\alpha}{4} cos 3 α = 4 3 cos α + cos 3 α
函数 导数 c c c 0 0 0 x n x^n x n n x n − 1 n x^{n-1} n x n − 1 e x e^x e x e x e^x e x a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) a^x(a>0,a≠1) a x ( a > 0 , a = 1 ) a x ln a a^x \ln a a x ln a ln x \ln x ln x 1 x \frac{1}{x} x 1 log a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) \log_a x(a>0,a≠1) log a x ( a > 0 , a = 1 ) 1 x ln a \frac{1}{x \ln a} x l n a 1 sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x cos x \cos x cos x − sin x -\sin x − sin x tan x \tan x tan x sec 2 x \sec^2 x sec 2 x cot x \cot x cot x − csc 2 x -\csc^2 x − csc 2 x sec x \sec x sec x sec x tan x \sec x \tan x sec x tan x csc x \csc x csc x − csc x cot x -\csc x \cot x − csc x cot x arcsin x \arcsin x arcsin x 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1 − x 2 1 arccos x \arccos x arccos x − 1 1 − x 2 -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} − 1 − x 2 1 arctan x \arctan x arctan x 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^2} 1 + x 2 1 arccot x \operatorname{arccot} x arccot x − 1 1 + x 2 -\frac{1}{1+x^2} − 1 + x 2 1
法则 公式 常数倍法则 ( c u ) ′ = c u ′ (cu)' = cu' ( c u ) ′ = c u ′ 加减法则 ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u \pm v)' = u' \pm v' ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ 乘法法则 ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)' = u'v + uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′ 除法法则 ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′ 链式法则 [ f ( g ( x ) ) ] ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) [ f ( g ( x )) ] ′ = f ′ ( g ( x )) ⋅ g ′ ( x ) 反函数求导 ( f − 1 ( y ) ) ′ = 1 f ′ ( x ) (f^{-1}(y))' = \frac{1}{f'(x)} ( f − 1 ( y ) ) ′ = f ′ ( x ) 1 y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x )
函数 积分 0 0 0 C C C k k k k x + C kx + C k x + C x n x^n x n n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 x n + 1 n + 1 + C \frac{x^{n+1}}{n+1} + C n + 1 x n + 1 + C 1 x \frac{1}{x} x 1 ln ∣ x ∣ + C \ln|x| + C ln ∣ x ∣ + C e x e^x e x e x + C e^x + C e x + C a x a^x a x a x ln a + C \frac{a^x}{\ln a} + C l n a a x + C sin x \sin x sin x − cos x + C -\cos x + C − cos x + C cos x \cos x cos x sin x + C \sin x + C sin x + C tan x \tan x tan x − ln ∣ cos x ∣ + C -\ln|\cos x| + C − ln ∣ cos x ∣ + C cot x \cot x cot x ln ∣ sin x ∣ + C \ln|\sin x| + C ln ∣ sin x ∣ + C sec x \sec x sec x ln ∣ sec x + tan x ∣ + C \ln|\sec x + \tan x| + C ln ∣ sec x + tan x ∣ + C csc x \csc x csc x ln ∣ csc x − cot x ∣ + C \ln|\csc x - \cot x| + C ln ∣ csc x − cot x ∣ + C sec 2 x \sec^2 x sec 2 x tan x + C \tan x + C tan x + C csc 2 x \csc^2 x csc 2 x − cot x + C -\cot x + C − cot x + C sec x tan x \sec x \tan x sec x tan x sec x + C \sec x + C sec x + C csc x cot x \csc x \cot x csc x cot x − csc x + C -\csc x + C − csc x + C 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1 − x 2 1 arcsin x + C \arcsin x + C arcsin x + C 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^2} 1 + x 2 1 arctan x + C \arctan x + C arctan x + C
原积分形式 积分结果 ∫ ( a x + b ) n d x \int (ax + b)^n dx ∫ ( a x + b ) n d x 1 a ⋅ ( a x + b ) n + 1 n + 1 + C \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax + b)^{n+1}}{n+1} + C a 1 ⋅ n + 1 ( a x + b ) n + 1 + C n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1 ∫ 1 a x + b d x \int \frac{1}{ax + b} dx ∫ a x + b 1 d x 1 a ln ∣ a x + b ∣ + C \frac{1}{a} \ln|ax + b| + C a 1 ln ∣ a x + b ∣ + C ∫ e a x + b d x \int e^{ax + b} dx ∫ e a x + b d x 1 a e a x + b + C \frac{1}{a} e^{ax + b} + C a 1 e a x + b + C ∫ sin ( a x + b ) d x \int \sin(ax + b) dx ∫ sin ( a x + b ) d x − 1 a cos ( a x + b ) + C -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C − a 1 cos ( a x + b ) + C ∫ cos ( a x + b ) d x \int \cos(ax + b) dx ∫ cos ( a x + b ) d x 1 a sin ( a x + b ) + C \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C a 1 sin ( a x + b ) + C
积分形式 积分结果 ∫ 1 a 2 + x 2 d x \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx ∫ a 2 + x 2 1 d x 1 a arctan x a + C \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C a 1 arctan a x + C ∫ 1 a 2 − x 2 d x \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx ∫ a 2 − x 2 1 d x 1 2 a ln ∣ a + x a − x ∣ + C \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C 2 a 1 ln a − x a + x + C 1 a artanh x a + C \frac{1}{a} \operatorname{artanh}\frac{x}{a} + C a 1 artanh a x + C ∫ 1 x 2 − a 2 d x \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx ∫ x 2 − a 2 1 d x 1 2 a ln ∣ x − a x + a ∣ + C \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C 2 a 1 ln x + a x − a + C
积分形式 积分结果 ∫ 1 a 2 − x 2 d x \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx ∫ a 2 − x 2 1 d x arcsin x a + C \arcsin\frac{x}{a} + C arcsin a x + C ∫ 1 x 2 + a 2 d x \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx ∫ x 2 + a 2 1 d x ln ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C \ln| x + \sqrt{x^2 + a^2} | + C ln ∣ x + x 2 + a 2 ∣ + C ∫ 1 x 2 − a 2 d x \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx ∫ x 2 − a 2 1 d x ln ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \ln| x + \sqrt{x^2 - a^2} | + C ln ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C
积分形式 积分结果（递推公式） ∫ sin n x d x \int \sin^n x dx ∫ sin n x d x − 1 n sin n − 1 x cos x + n − 1 n ∫ sin n − 2 x d x -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x dx − n 1 sin n − 1 x cos x + n n − 1 ∫ sin n − 2 x d x ∫ cos n x d x \int \cos^n x dx ∫ cos n x d x 1 n cos n − 1 x sin x + n − 1 n ∫ cos n − 2 x d x \frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x dx n 1 cos n − 1 x sin x + n n − 1 ∫ cos n − 2 x d x ∫ tan n x d x \int \tan^n x dx ∫ tan n x d x 1 n − 1 tan n − 1 x − ∫ tan n − 2 x d x \frac{1}{n-1} \tan^{n-1} x - \int \tan^{n-2} x dx n − 1 1 tan n − 1 x − ∫ tan n − 2 x d x ∫ cot n x d x \int \cot^n x dx ∫ cot n x d x − 1 n − 1 cot n − 1 x − ∫ cot n − 2 x d x -\frac{1}{n-1} \cot^{n-1} x - \int \cot^{n-2} x dx − n − 1 1 cot n − 1 x − ∫ cot n − 2 x d x ∫ sec n x d x \int \sec^n x dx ∫ sec n x d x 1 n − 1 sec n − 2 x tan x + n − 2 n − 1 ∫ sec n − 2 x d x \frac{1}{n-1} \sec^{n-2} x \tan x + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x dx n − 1 1 sec n − 2 x tan x + n − 1 n − 2 ∫ sec n − 2 x d x ∫ csc n x d x \int \csc^n x dx ∫ csc n x d x − 1 n − 1 csc n − 2 x cot x + n − 2 n − 1 ∫ csc n − 2 x d x -\frac{1}{n-1} \csc^{n-2} x \cot x + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x dx − n − 1 1 csc n − 2 x cot x + n − 1 n − 2 ∫ csc n − 2 x d x
积分形式 积分结果 ∫ 1 sin x d x \int \frac{1}{\sin x} dx ∫ s i n x 1 d x ln ∣ csc x − cot x ∣ + C = ln ∣ tan x 2 ∣ + C \ln| \csc x - \cot x | + C = \ln\left| \tan\frac{x}{2} \right| + C ln ∣ csc x − cot x ∣ + C = ln tan 2 x + C ∫ 1 cos x d x \int \frac{1}{\cos x} dx ∫ c o s x 1 d x ln ∣ sec x + tan x ∣ + C = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C \ln| \sec x + \tan x | + C = \ln\left| \sec x + \tan x \right| + C ln ∣ sec x + tan x ∣ + C = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C ∫ 1 1 + cos x d x \int \frac{1}{1 + \cos x} dx ∫ 1 + c o s x 1 d x tan x 2 + C \tan\frac{x}{2} + C tan 2 x + C ∫ 1 1 − cos x d x \int \frac{1}{1 - \cos x} dx ∫ 1 − c o s x 1 d x − cot x 2 + C -\cot\frac{x}{2} + C − cot 2 x + C ∫ 1 1 + sin x d x \int \frac{1}{1 + \sin x} dx ∫ 1 + s i n x 1 d x tan ( x 2 − π 4 ) + C \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + C tan ( 2 x − 4 π ) + C ∫ 1 1 − sin x d x \int \frac{1}{1 - \sin x} dx ∫ 1 − s i n x 1 d x tan ( x 2 + π 4 ) + C \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + C tan ( 2 x + 4 π ) + C
积分形式 积分结果 ∫ e a x sin ( b x ) d x \int e^{ax} \sin(bx) dx ∫ e a x sin ( b x ) d x e a x a 2 + b 2 ( a sin b x − b cos b x ) + C \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + C a 2 + b 2 e a x ( a sin b x − b cos b x ) + C ∫ e a x cos ( b x ) d x \int e^{ax} \cos(bx) dx ∫ e a x cos ( b x ) d x e a x a 2 + b 2 ( a cos b x + b sin b x ) + C \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx) + C a 2 + b 2 e a x ( a cos b x + b sin b x ) + C ∫ e a x sinh ( b x ) d x \int e^{ax} \sinh(bx) dx ∫ e a x sinh ( b x ) d x e a x a 2 − b 2 ( a sinh b x − b cosh b x ) + C \frac{e^{ax}}{a^2 - b^2} (a \sinh bx - b \cosh bx) + C a 2 − b 2 e a x ( a sinh b x − b cosh b x ) + C ∫ e a x cosh ( b x ) d x \int e^{ax} \cosh(bx) dx ∫ e a x cosh ( b x ) d x e a x a 2 − b 2 ( a cosh b x − b sinh b x ) + C \frac{e^{ax}}{a^2 - b^2} (a \cosh bx - b \sinh bx) + C a 2 − b 2 e a x ( a cosh b x − b sinh b x ) + C
积分形式 积分结果 ∫ d x x 2 + 2 b x + c \int \frac{dx}{x^2 + 2bx + c} ∫ x 2 + 2 b x + c d x 1 c − b 2 arctan x + b c − b 2 + C \frac{1}{\sqrt{c - b^2}} \arctan\frac{x + b}{\sqrt{c - b^2}} + C c − b 2 1 arctan c − b 2 x + b + C c > b 2 c > b^2 c > b 2 ∫ d x a x 2 + b x + c \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} ∫ a x 2 + b x + c d x 1 a ln ∣ 2 a a x 2 + b x + c + 2 a x + b ∣ + C \frac{1}{\sqrt{a}} \ln| 2\sqrt{a}\sqrt{ax^2 + bx + c} + 2ax + b | + C a 1 ln ∣2 a a x 2 + b x + c + 2 a x + b ∣ + C a > 0 a > 0 a > 0
积分形式 积分结果 ∫ arcsin x a d x \int \arcsin\frac{x}{a} dx ∫ arcsin a x d x x arcsin x a + a 2 − x 2 + C x \arcsin\frac{x}{a} + \sqrt{a^2 - x^2} + C x arcsin a x + a 2 − x 2 + C ∫ arccos x a d x \int \arccos\frac{x}{a} dx ∫ arccos a x d x x arccos x a − a 2 − x 2 + C x \arccos\frac{x}{a} - \sqrt{a^2 - x^2} + C x arccos a x − a 2 − x 2 + C ∫ arctan x a d x \int \arctan\frac{x}{a} dx ∫ arctan a x d x x arctan x a − a 2 ln ( x 2 + a 2 ) + C x \arctan\frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln(x^2 + a^2) + C x arctan a x − 2 a ln ( x 2 + a 2 ) + C
法则 公式 常数倍法则 ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x \int kf(x)dx = k\int f(x)dx ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x 加减法则 ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx ∫ [ f ( x ) ± g ( x )] d x = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x 换元积分法 ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du ∫ f ( g ( x )) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u u = g ( x ) u = g(x) u = g ( x ) 分部积分法 ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int udv = uv - \int vdu ∫ u d v = uv − ∫ v d u
技巧 说明 凑微分法 将被积函数变形为容易积分的形式 三角代换 含a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2} a 2 − x 2 a 2 + x 2 \sqrt{a^2+x^2} a 2 + x 2 x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2} x 2 − a 2 有理函数积分 将有理函数分解为部分分式之和 倒代换 令x = 1 t x = \frac{1}{t} x = t 1 万能公式 用t = tan x 2 t = \tan\frac{x}{2} t = tan 2 x
性质 公式 区间可加性 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x 保号性 若f ( x ) ≥ 0 f(x) \geq 0 f ( x ) ≥ 0 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 \int_a^b f(x)dx \geq 0 ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 估值定理 m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a) m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) 积分中值定理 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a) ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ξ ∈ [ a , b ] \xi \in [a,b] ξ ∈ [ a , b ]
同济版《高等数学》是高校理工科核心教材，上册侧重 “一元函数微积分”，下册侧重 “多元函数微积分与无穷级数、微分方程”。以下按章节拆解核心知识点、重要概念及公式，并结合机械、土木、电气、自动化、化工等工程领域实例，建立 “知识点 - 工程问题” 的对应关系，帮助快速理解与应用。
高等数学（同济版）
├── 函数与极限
│ ├── 映射与函数
│ │ ├── 映射
│ │ └── 函数
│ ├── 数列的极限
│ │ ├── 数列极限的定义
│ │ └── 收敛数列的性质
│ ├── 函数的极限
│ │ ├── 函数极限的定义
│ │ └── 函数极限的性质
│ ├── 无穷小与无穷大
│ │ ├── 无穷小
│ │ └── 无穷大
│ ├── 极限运算法则
│ ├── 极限存在准则 两个重要极限
│ ├── 无穷小的比较
│ ├── 函数的连续性与间断点
│ │ ├── 函数的连续性
│ │ └── 函数的间断点
│ ├── 连续函数的运算与初等函数的连续性
│ │ ├── 连续函数的和、差、积、商的连续性
│ │ ├── 反函数与复合函数的连续性
│ │ └── 初等函数的连续性
│ └── 闭区间上连续函数的性质
│ ├── 有界性与最大值最小值定理
│ ├── 零点定理与介值定理
│ └── 一致连续性
├── 导数与微分
│ ├── 导数概念
│ │ ├── 引例
│ │ ├── 导数的定义
│ │ ├── 导数的几何意义
│ │ └── 函数可导性与连续性的关系
│ ├── 函数的求导法则
│ │ ├── 函数的和、差、积、商的求导法则
│ │ ├── 反函数的求导法则
│ │ ├── 复合函数的求导法则
│ │ └── 基本求导法则与导数公式
│ ├── 高阶导数
│ ├── 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
│ │ ├── 隐函数的导数
│ │ ├── 由参数方程所确定的函数的导数
│ │ └── 相关变化率
│ └── 函数的微分
│ ├── 微分的定义
│ ├── 微分的几何意义
│ ├── 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
│ └── 微分在近似计算中的应用
├── 微分中值定理与导数的应用
│ ├── 微分中值定理
│ │ ├── 罗尔定理
│ │ ├── 拉格朗日中值定理
│ │ └── 柯西中值定理
│ ├── 洛必达法则
│ ├── 泰勒公式
│ ├── 函数的单调性与曲线的凹凸性
│ │ ├── 函数单调性的判定法
│ │ └── 曲线的凹凸性与拐点
│ ├── 函数的极值与最大值最小值
│ │ ├── 函数的极值及其求法
│ │ └── 最大值最小值问题
│ ├── 函数图形的描绘
│ ├── 曲率
│ │ ├── 弧微分
│ │ ├── 曲率及其计算公式
│ │ ├── 曲率圆与曲率半径
│ │ └── 曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线
│ └── 方程的近似解
│ ├── 二分法
│ ├── 切线法
│ └── 割线法
├── 不定积分
│ ├── 不定积分的概念与性质
│ │ ├── 原函数与不定积分的概念
│ │ ├── 基本积分表
│ │ └── 不定积分的性质
│ ├── 换元积分法
│ │ ├── 第一类换元法
│ │ └── 第二类换元法
│ ├── 分部积分法
│ ├── 有理函数的积分
│ │ ├── 有理函数的积分
│ │ └── 可化为有理函数的积分举例
│ └── 积分表的使用
├── 定积分
│ ├── 定积分的概念与性质
│ │ ├── 定积分问题举例
│ │ ├── 定积分的定义
│ │ ├── 定积分的近似计算
│ │ └── 定积分的性质
│ ├── 微积分基本公式
│ │ ├── 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
│ │ ├── 积分上限的函数及其导数
│ │ └── 牛顿-莱布尼茨公式
│ ├── 定积分的换元法和分部积分法
│ │ ├── 定积分的换元法
│ │ └── 定积分的分部积分法
│ ├── 反常积分
│ │ ├── 无穷限的反常积分
│ │ └── 无界函数的反常积分
│ └── 反常积分的审敛法 Γ函数
│ ├── 无穷限的反常积分的审敛法
│ ├── 无界函数的反常积分的审敛法
│ └── Γ函数
├── 定积分的应用
│ ├── 定积分的元素法
│ ├── 定积分在几何学上的应用
│ │ ├── 平面图形的面积
│ │ ├── 体积
│ │ └── 平面曲线的弧长
│ └── 定积分在物理学上的应用
│ ├── 变力沿直线所做的功
│ ├── 水压力
│ └── 引力
├── 微分方程
│ ├── 微分方程的基本概念
│ ├── 可分离变量的微分方程
│ ├── 齐次方程
│ │ ├── 齐次方程
│ │ └── 可化为齐次的方程
│ ├── 一阶线性微分方程
│ │ ├── 线性方程
│ │ └── 伯努利方程
│ ├── 可降阶的高阶微分方程
│ ├── 高阶线性微分方程
│ │ ├── 二阶线性微分方程举例
│ │ ├── 线性微分方程的解的结构
│ │ └── 常数变易法
│ ├── 常系数齐次线性微分方程
│ ├── 常系数非齐次线性微分方程
│ ├── 欧拉方程
│ └── 常系数线性微分方程组解法举例
├── 向量代数与空间解析几何
│ ├── 向量及其线性运算
│ │ ├── 向量的概念
│ │ ├── 向量的线性运算
│ │ ├── 空间直角坐标系
│ │ ├── 利用坐标作向量的线性运算
│ │ └── 向量的模、方向角、投影
│ ├── 数量积 向量积 混合积
│ │ ├── 两向量的数量积
│ │ ├── 两向量的向量积
│ │ └── 向量的混合积
│ ├── 平面及其方程
│ │ ├── 曲面方程与空间曲线方程的概念
│ │ ├── 平面的点法式方程
│ │ ├── 平面的一般方程
│ │ └── 两平面的夹角
│ ├── 空间直线及其方程
│ │ ├── 空间直线的一般方程
│ │ ├── 空间直线的对称式方程与参数方程
│ │ ├── 两直线的夹角
│ │ ├── 直线与平面的夹角
│ │ └── 杂例
│ ├── 曲面及其方程
│ │ ├── 曲面研究的基本问题
│ │ ├── 旋转曲面
│ │ ├── 柱面
│ │ └── 二次曲面
│ └── 空间曲线及其方程
│ ├── 空间曲线的一般方程
│ ├── 空间曲线的参数方程
│ └── 空间曲线在坐标面上的投影
├── 多元函数微分法及其应用
│ ├── 多元函数的基本概念
│ ├── 偏导数
│ ├── 全微分
│ ├── 多元复合函数的求导法则
│ ├── 隐函数的求导公式
│ ├── 方向导数与梯度
│ ├── 多元函数的极值及其求法
│ ├── 二元函数的泰勒公式
│ └── 最小二乘法
├── 重积分
│ ├── 二重积分的概念与性质
│ ├── 二重积分的计算法
│ ├── 三重积分
│ └── 重积分的应用
├── 曲线积分与曲面积分
│ ├── 对弧长的曲线积分
│ ├── 对坐标的曲线积分
│ ├── 格林公式及其应用
│ ├── 对面积的曲面积分
│ ├── 对坐标的曲面积分
│ ├── 高斯公式 通量与散度
│ └── 斯托克斯公式 环流量与旋度
├── 无穷级数
│ ├── 常数项级数的概念和性质
│ ├── 常数项级数的审敛法
│ ├── 幂级数
│ ├── 函数展开成幂级数
│ ├── 函数的幂级数展开式的应用
│ ├── 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
│ ├── 傅里叶级数
│ └── 一般周期函数的傅里叶级数
└── 附录
├── 初等数学几个内容简介
│ ├── 三角函数公式
│ │ ├── 两角和差公式
│ │ ├── 和差化积公式
│ │ ├── 积化和差公式
│ │ ├── 倍角公式
│ │ └── 半角公式
│ ├── 反三角函数
│ ├── 极坐标
│ ├── 参数方程
│ └── 二阶和三阶行列式
├── 基本初等函数的图形
│ ├── 幂函数
│ ├── 指数函数
│ ├── 对数函数
│ ├── 三角函数
│ └── 反三角函数
├── 几种常用的曲线
│ ├── 三次抛物线
│ ├── 半立方抛物线
│ └── 概率曲线
└── 积分表
上册共 7 章，核心是 “以一元函数为研究对象，围绕极限→导数→积分展开”，最后补充空间解析几何为下册多元函数铺垫。
核心定位 ：高等数学的 “基础工具章”，极限是微积分的核心思想，函数是研究对象。
重要概念 ：
函数定义：设数集D ⊂ R D\subset\mathbb{R} D ⊂ R ∀ x ∈ D \forall x\in D ∀ x ∈ D y ∈ R y\in\mathbb{R} y ∈ R y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) D D D f ( D ) f(D) f ( D )
函数特性：单调性（∀ x 1 < x 2 \forall x_1<x_2 ∀ x 1 < x 2 f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) f(x_1)\leq f(x_2) f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f ( − x ) = f ( x ) f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f ( − x ) = − f ( x ) f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T)=f(x) f ( x + T ) = f ( x ) T T T ∃ M > 0 \exists M>0 ∃ M > 0 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)|\leq M ∣ f ( x ) ∣ ≤ M ∀ x ∈ D \forall x\in D ∀ x ∈ D
基本初等函数：幂函数（y = x μ y=x^\mu y = x μ μ \mu μ y = a x y=a^x y = a x a > 0 , a ≠ 1 a>0,a\neq1 a > 0 , a = 1 y = log a x y=\log_a x y = log a x a > 0 , a ≠ 1 a>0,a\neq1 a > 0 , a = 1 sin x , cos x , tan x \sin x,\cos x,\tan x sin x , cos x , tan x arcsin x , arccos x \arcsin x,\arccos x arcsin x , arccos x
初等函数：由基本初等函数经有限次四则运算或复合运算得到的函数。
工程应用：函数建模 —— 工程系统的 “数学画像”
机械工程 ：直流电机的扭矩T T T n n n T = K t I a T=K_t I_a T = K t I a K t K_t K t I a I_a I a I a I_a I a n n n I a = U − K e n R a I_a=\frac{U-K_e n}{R_a} I a = R a U − K e n U U U K e K_e K e R a R_a R a T T T n n n T = K t ( U − K e n ) R a T=\frac{K_t (U-K_e n)}{R_a} T = R a K t ( U − K e n )
土木工程 ：简支梁在均布荷载q q q w w w q q q w = 5 q L 4 384 E I w=\frac{5 q L^4}{384 E I} w = 384 E I 5 q L 4 L L L E E E I I I
重要概念 ：
数列极限：lim n → ∞ x n = a \lim_{n\to\infty}x_n=a lim n → ∞ x n = a ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N + \exists N\in\mathbb{N}^+ ∃ N ∈ N + n > N n>N n > N ∣ x n − a ∣ < ε |x_n - a|<\varepsilon ∣ x n − a ∣ < ε
函数极限：lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x\to x_0}f(x)=A lim x → x 0 f ( x ) = A ⇔ \Leftrightarrow ⇔ ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃ δ > 0 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x - x_0|<\delta 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣ f ( x ) − A ∣ < ε x → ∞ x\to\infty x → ∞ lim x → x 0 + f ( x ) \lim_{x\to x_0^+}f(x) lim x → x 0 + f ( x ) lim x → x 0 − f ( x ) \lim_{x\to x_0^-}f(x) lim x → x 0 − f ( x )
无穷小与无穷大：
无穷小：lim f ( x ) = 0 \lim f(x)=0 lim f ( x ) = 0 lim x → 0 sin x = 0 \lim_{x\to0}\sin x=0 lim x → 0 sin x = 0 x → 0 x\to0 x → 0 sin x \sin x sin x
无穷大：lim f ( x ) = ∞ \lim f(x)=\infty lim f ( x ) = ∞ lim x → ∞ x 2 = ∞ \lim_{x\to\infty}x^2=\infty lim x → ∞ x 2 = ∞ x → ∞ x\to\infty x → ∞ x 2 x^2 x 2
函数连续性：x 0 x_0 x 0 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 )
核心公式 ：
两个重要极限： lim x → 0 sin x x = 1 \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 lim x → 0 x s i n x = 1 0 0 \frac{0}{0} 0 0
lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e lim x → ∞ ( 1 + x 1 ) x = e lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = e \lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e lim t → 0 ( 1 + t ) t 1 = e 1 ∞ 1^\infty 1 ∞ e ≈ 2.718 e\approx2.718 e ≈ 2.718
极限运算法则：若lim f ( x ) = A \lim f(x)=A lim f ( x ) = A lim g ( x ) = B \lim g(x)=B lim g ( x ) = B lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] = A ± B \lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B lim [ f ( x ) ± g ( x )] = A ± B
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = A ⋅ B \lim[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = A ⋅ B
lim f ( x ) g ( x ) = A B \lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B} lim g ( x ) f ( x ) = B A B ≠ 0 B\neq0 B = 0
极限（无穷小近似）：简化工程计算
机械设计 ：齿轮传动的 “齿面接触应力计算”。当齿轮齿面曲率半径R 1 R_1 R 1 R 2 R_2 R 2 δ \delta δ δ \delta δ σ H = Z E F N b ρ \sigma_H=Z_E \sqrt{\frac{F_N}{b \rho}} σ H = Z E b ρ F N Z E Z_E Z E F N F_N F N b b b ρ \rho ρ
电气工程 ：导线的 “集肤效应简化”。当交流电频率f f f δ \delta δ δ = 2 π f μ σ \delta=\sqrt{\frac{2}{\pi f \mu \sigma}} δ = π f μ σ 2 μ \mu μ σ \sigma σ r ≫ δ r \gg \delta r ≫ δ δ \delta δ R ≈ 1 σ ⋅ 2 π r δ R \approx \frac{1}{\sigma \cdot 2\pi r \delta} R ≈ σ ⋅ 2 π rδ 1
连续性：判断工程系统的 “稳定性”
自动化控制 ：温度控制系统的 “无跳变设计”。若温度传感器的输出信号T ( t ) T(t) T ( t ) t 0 t_0 t 0 T ( t ) T(t) T ( t ) lim t → t 0 T ( t ) = T ( t 0 ) \lim_{t \to t_0} T(t)=T(t_0) lim t → t 0 T ( t ) = T ( t 0 ) 核心定位 ：“导数” 描述函数的 “变化率”（如切线斜率），“微分” 描述函数的 “微小增量近似”，二者是一元函数微分学的核心。
重要概念 ：
导数定义：f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} lim x → x 0 x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) f ( x ) f(x) f ( x ) x 0 x_0 x 0
导数存在条件：左右导数存在且相等（即f + ′ ( x 0 ) = f − ′ ( x 0 ) f'_+(x_0)=f'_-(x_0) f + ′ ( x 0 ) = f − ′ ( x 0 )
高阶导数：二阶及以上导数，记f ′ ′ ( x ) = d 2 y d x 2 f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2} f ′′ ( x ) = d x 2 d 2 y f ′ ′ ′ ( x ) = d 3 y d x 3 f'''(x)=\frac{d^3y}{dx^3} f ′′′ ( x ) = d x 3 d 3 y f ( n ) ( x ) = d n y d x n f^{(n)}(x)=\frac{d^ny}{dx^n} f ( n ) ( x ) = d x n d n y
核心公式（导数公式与法则） ：
基本初等函数导数公式（核心，需熟记）： 函数y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 导数y ′ = f ′ ( x ) y'=f'(x) y ′ = f ′ ( x ) 说明 y = C y=C y = C y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 常数的变化率为 0 y = x μ y=x^\mu y = x μ y ′ = μ x μ − 1 y'=\mu x^{\mu-1} y ′ = μ x μ − 1 幂函数求导（如y = x 2 y=x^2 y = x 2 y ′ = 2 x y'=2x y ′ = 2 x y = sin x y=\sin x y = sin x y ′ = cos x y'=\cos x y ′ = cos x 三角函数求导 y = cos x y=\cos x y = cos x y ′ = − sin x y'=-\sin x y ′ = − sin x 三角函数求导 y = a x y=a^x y = a x y ′ = a x ln a y'=a^x\ln a y ′ = a x ln a 指数函数求导（特例：y = e x y=e^x y = e x y ′ = e x y'=e^x y ′ = e x y = log a x y=\log_a x y = log a x y ′ = 1 x ln a y'=\frac{1}{x\ln a} y ′ = x l n a 1 对数函数求导（特例：y = ln x y=\ln x y = ln x y ′ = 1 x y'=\frac{1}{x} y ′ = x 1
求导法则： 四则运算法则：若u = u ( x ) u=u(x) u = u ( x ) v = v ( x ) v=v(x) v = v ( x )
( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u\pm v)'=u'\pm v' ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′
( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′ v ≠ 0 v\neq0 v = 0
复合函数求导（链式法则）：若y = f ( u ) y=f(u) y = f ( u ) u = g ( x ) u=g(x) u = g ( x ) d y d x = d y d u ⋅ d u d x \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} d x d y = d u d y ⋅ d x d u y = sin ( x 2 ) y=\sin(x^2) y = sin ( x 2 ) y ′ = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x y'=\cos(x^2)\cdot2x y ′ = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x
隐函数求导：对方程F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 x x x y y y x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1 2 x + 2 y ⋅ y ′ = 0 2x+2y\cdot y'=0 2 x + 2 y ⋅ y ′ = 0 y ′ = − x y y'=-\frac{x}{y} y ′ = − y x
工程应用：导数（变化率）—— 工程中的 “动态指标” 机械工程 ：机床主轴的 “转速波动率”。主轴转速n ( t ) n(t) n ( t ) d n d t \frac{dn}{dt} d t d n d n d t \frac{dn}{dt} d t d n ∣ d n d t ∣ ≤ [ d n d t ] \left|\frac{dn}{dt}\right| \leq [\frac{dn}{dt}] d t d n ≤ [ d t d n ]
电气工程 ：电感元件的 “反电动势计算”。根据电磁感应定律，电感L L L e L = − L ⋅ d i d t e_L=-L \cdot \frac{di}{dt} e L = − L ⋅ d t d i i i i i ( t ) i(t) i ( t ) d i d t \frac{di}{dt} d t d i d i d t \frac{di}{dt} d t d i
化工工程 ：反应釜的 “浓度变化率”。化学反应中，反应物浓度c ( t ) c(t) c ( t ) d c d t \frac{dc}{dt} d t d c d c d t \frac{dc}{dt} d t d c d c d t = 0 \frac{dc}{dt}=0 d t d c = 0
重要概念 ：
微分定义：若函数增量Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x) Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o ( Δ x ) o ( Δ x ) o(\Delta x) o ( Δ x ) Δ x \Delta x Δ x d y = A Δ x dy=A\Delta x d y = A Δ x f ( x ) f(x) f ( x ) x 0 x_0 x 0 A = f ′ ( x 0 ) A=f'(x_0) A = f ′ ( x 0 ) d y = f ′ ( x ) d x dy=f'(x)dx d y = f ′ ( x ) d x Δ x = d x \Delta x=dx Δ x = d x
几何意义：微分d y dy d y Δ y \Delta y Δ y Δ y ≈ d y \Delta y\approx dy Δ y ≈ d y Δ x \Delta x Δ x
工程应用：微分（微小增量近似）—— 工程中的 “小扰动分析”
土木工程 ：建筑结构的 “小位移近似”。在风荷载作用下，高层建筑的顶部位移Δ \Delta Δ H H H Δ ≪ H \Delta \ll H Δ ≪ H Δ \Delta Δ d Δ d\Delta d Δ Δ = F H 3 3 E I \Delta=\frac{F H^3}{3 E I} Δ = 3 E I F H 3 F F F d F dF d F d Δ = H 3 3 E I d F d\Delta=\frac{H^3}{3 E I} dF d Δ = 3 E I H 3 d F
机械设计 ：轴的 “热胀冷缩微小量计算”。轴的长度L L L T T T L ( T ) = L 0 ( 1 + α T ) L(T)=L_0(1+\alpha T) L ( T ) = L 0 ( 1 + α T ) α \alpha α L 0 L_0 L 0 Δ T \Delta T Δ T Δ T = 5 ∘ C \Delta T=5^\circ C Δ T = 5 ∘ C Δ L ≈ d L = L 0 α d T \Delta L \approx dL=L_0 \alpha dT Δ L ≈ d L = L 0 α d T d T = Δ T dT=\Delta T d T = Δ T
高阶导数工程应用：工程中的 “加速度与曲率”
机械振动 ：汽车减震系统的 “加速度控制”。汽车行驶时，车身位移x ( t ) x(t) x ( t ) d 2 x d t 2 = a ( t ) \frac{d^2x}{dt^2}=a(t) d t 2 d 2 x = a ( t ) a ( t ) a(t) a ( t ) ∣ a ( t ) ∣ ≤ 0.5 g \left|a(t)\right| \leq 0.5g ∣ a ( t ) ∣ ≤ 0.5 g g g g
土木工程 ：道路曲线的 “曲率设计”。道路转弯处的曲线为圆弧，其曲率k = 1 R k=\frac{1}{R} k = R 1 R R R k k k y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) k = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 k=\frac{\left|y''\right|}{\left(1+y'^2\right)^{3/2}} k = ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′′ ∣ R R R k k k v v v R min = v 2 μ g R_{\text{min}}=\frac{v^2}{\mu g} R min = μg v 2 μ \mu μ
核心定位 ：“微分中值定理” 是连接 “导数” 与 “函数整体性质” 的桥梁，“导数的应用” 是微分学的实际价值体现（如求极值、判断单调性）。
罗尔定理：若f ( x ) f(x) f ( x ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f ( a ) = f ( b ) ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists\xi\in(a,b) ∃ ξ ∈ ( a , b ) f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f ′ ( ξ ) = 0 拉格朗日中值定理：若f ( x ) f(x) f ( x ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( a , b ) (a,b) ( a , b ) ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists\xi\in(a,b) ∃ ξ ∈ ( a , b ) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) 柯西中值定理：若f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f ( x ) , g ( x ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( a , b ) (a,b) ( a , b ) g ′ ( x ) ≠ 0 g'(x)\neq0 g ′ ( x ) = 0 ∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists\xi\in(a,b) ∃ ξ ∈ ( a , b ) f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} g ( b ) − g ( a ) f ( b ) − f ( a ) = g ′ ( ξ ) f ′ ( ξ ) 洛必达法则（求极限的核心工具）： 适用类型：0 0 \frac{0}{0} 0 0 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞ ∞ lim f ( x ) g ( x ) \lim\frac{f(x)}{g(x)} lim g ( x ) f ( x ) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 \lim f(x)=\lim g(x)=0 lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ∞ \infty ∞
法则内容：若lim f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim\frac{f'(x)}{g'(x)} lim g ′ ( x ) f ′ ( x ) ∞ \infty ∞ lim f ( x ) g ( x ) = lim f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)} lim g ( x ) f ( x ) = lim g ′ ( x ) f ′ ( x )
函数单调性判断：若在( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f ′ ( x ) > 0 f ( x ) f(x) f ( x ) ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ′ ( x ) < 0 f'(x)<0 f ′ ( x ) < 0
函数极值与最值：
极值必要条件：若f ( x ) f(x) f ( x ) x 0 x_0 x 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f ′ ( x 0 ) = 0
极值充分条件（第一判定法）：x 0 x_0 x 0 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) x 0 x_0 x 0 x 0 x_0 x 0
最值：闭区间[ a , b ] [a,b] [ a , b ]
曲线的凹凸性与拐点： 凹凸性判断：若在( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f ′′ ( x ) > 0 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f ′′ ( x ) < 0
拐点：曲线凹凸性改变的点（需满足f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f ′′ ( x 0 ) = 0 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f ′′ ( x 0 ) f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x )
函数图形绘制：步骤为 “求定义域→找驻点与不可导点→判断单调性与极值→判断凹凸性与拐点→求渐近线（水平、垂直、斜）→描点绘图”。 工程应用：函数极值与最值 —— 工程优化设计
机械工程 ：机械零件的 “最小应力设计”。某轴类零件的应力σ ( x ) \sigma(x) σ ( x ) x x x σ ( x ) = M W ( x ) \sigma(x)=\frac{M}{W(x)} σ ( x ) = W ( x ) M M M M W ( x ) W(x) W ( x ) W ( x ) = π x 3 16 W(x)=\frac{\pi x^3}{16} W ( x ) = 16 π x 3 σ ( x ) = 16 M π x 3 \sigma(x)=\frac{16M}{\pi x^3} σ ( x ) = π x 3 16 M σ ′ ( x ) = − 48 M π x 4 \sigma'(x)=-\frac{48M}{\pi x^4} σ ′ ( x ) = − π x 4 48 M σ ( x ) \sigma(x) σ ( x ) x x x x x x m ( x ) = ρ V ( x ) = ρ ⋅ π x 2 L 4 m(x)=\rho V(x)=\rho \cdot \frac{\pi x^2 L}{4} m ( x ) = ρ V ( x ) = ρ ⋅ 4 π x 2 L ρ \rho ρ L L L x x x
化工工程 ：反应釜的 “最大产率优化”。某化学反应的产率Y ( T ) Y(T) Y ( T ) T T T Y ( T ) = k 1 T k 2 + T 2 Y(T)=\frac{k_1 T}{k_2 + T^2} Y ( T ) = k 2 + T 2 k 1 T k 1 , k 2 k_1,k_2 k 1 , k 2 Y ′ ( T ) = k 1 ( k 2 − T 2 ) ( k 2 + T 2 ) 2 Y'(T)=\frac{k_1(k_2 - T^2)}{(k_2 + T^2)^2} Y ′ ( T ) = ( k 2 + T 2 ) 2 k 1 ( k 2 − T 2 ) Y ′ ( T ) = 0 Y'(T)=0 Y ′ ( T ) = 0 T = k 2 T=\sqrt{k_2} T = k 2
核心定位 ：“导数的逆运算”，即已知f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ( x ) f(x) f ( x )
重要概念 ：
原函数：若F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) F ( x ) = x 2 F(x)=x^2 F ( x ) = x 2 f ( x ) = 2 x f(x)=2x f ( x ) = 2 x
不定积分：f ( x ) f(x) f ( x ) ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)dx=F(x)+C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C C C C
核心性质 ：
d d x [ ∫ f ( x ) d x ] = f ( x ) \frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x) d x d [ ∫ f ( x ) d x ] = f ( x ) d [ ∫ f ( x ) d x ] = f ( x ) d x d\left[\int f(x)dx\right]=f(x)dx d [ ∫ f ( x ) d x ] = f ( x ) d x
∫ F ′ ( x ) d x = F ( x ) + C \int F'(x)dx=F(x)+C ∫ F ′ ( x ) d x = F ( x ) + C ∫ d F ( x ) = F ( x ) + C \int dF(x)=F(x)+C ∫ d F ( x ) = F ( x ) + C
线性性质：∫ [ k 1 f ( x ) + k 2 g ( x ) ] d x = k 1 ∫ f ( x ) d x + k 2 ∫ g ( x ) d x \int[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx ∫ [ k 1 f ( x ) + k 2 g ( x )] d x = k 1 ∫ f ( x ) d x + k 2 ∫ g ( x ) d x k 1 , k 2 k_1,k_2 k 1 , k 2
基本积分公式（与导数公式互逆，需熟记）： 被积函数f ( x ) f(x) f ( x ) 不定积分∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫ f ( x ) d x 说明 C C C C x + C 1 Cx+C_1 C x + C 1 C 1 C_1 C 1 x μ x^\mu x μ μ ≠ − 1 \mu\neq-1 μ = − 1 x μ + 1 μ + 1 + C \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C μ + 1 x μ + 1 + C 幂函数积分（如∫ x 2 d x = x 3 3 + C \int x^2dx=\frac{x^3}{3}+C ∫ x 2 d x = 3 x 3 + C 1 x \frac{1}{x} x 1 ln ∣ x ∣ + C \ln|x|+C ln ∣ x ∣ + C x sin x \sin x sin x − cos x + C -\cos x+C − cos x + C 三角函数积分 cos x \cos x cos x sin x + C \sin x+C sin x + C 三角函数积分 e x e^x e x e x + C e^x+C e x + C 指数函数积分 a x a^x a x a x ln a + C \frac{a^x}{\ln a}+C l n a a x + C 指数函数积分
换元积分法（核心方法）： 第一类换元法（凑微分）：若∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C \int f(u)du=F(u)+C ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C u = φ ( x ) u=\varphi(x) u = φ ( x ) ∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x = F [ φ ( x ) ] + C \int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=F[\varphi(x)]+C ∫ f [ φ ( x )] φ ′ ( x ) d x = F [ φ ( x )] + C ∫ sin ( 2 x ) d x = 1 2 ∫ sin ( 2 x ) d ( 2 x ) = − 1 2 cos ( 2 x ) + C \int\sin(2x)dx=\frac{1}{2}\int\sin(2x)d(2x)=-\frac{1}{2}\cos(2x)+C ∫ sin ( 2 x ) d x = 2 1 ∫ sin ( 2 x ) d ( 2 x ) = − 2 1 cos ( 2 x ) + C
第二类换元法（变量代换）：令x = ψ ( t ) x=\psi(t) x = ψ ( t ) ψ ′ ( t ) ≠ 0 \psi'(t)\neq0 ψ ′ ( t ) = 0 ∫ f ( x ) d x = ∫ f [ ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) d t = F ( t ) + C = F [ ψ − 1 ( x ) ] + C \int f(x)dx=\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\psi^{-1}(x)]+C ∫ f ( x ) d x = ∫ f [ ψ ( t )] ψ ′ ( t ) d t = F ( t ) + C = F [ ψ − 1 ( x )] + C a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2} a 2 − x 2 x 2 + a 2 \sqrt{x^2+a^2} x 2 + a 2 x = a sin t x=a\sin t x = a sin t a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2} a 2 − x 2
分部积分法：∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) u ′ ( x ) d x \int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) u ′ ( x ) d x ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int udv=uv-\int vdu ∫ u d v = uv − ∫ v d u ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C \int x e^x dx=x e^x-\int e^x dx=x e^x - e^x + C ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C 工程应用：不定积分 —— 物理量的恢复与预测
机械工程 ：物体运动轨迹的计算。已知物体在水平方向的加速度a ( t ) = 2 t a(t)=2t a ( t ) = 2 t a ( t ) = v ′ ( t ) a(t)=v'(t) a ( t ) = v ′ ( t ) v ( t ) = ∫ a ( t ) d t = ∫ 2 t d t = t 2 + C 1 v(t)=\int a(t)dt=\int 2t dt=t^2 + C_1 v ( t ) = ∫ a ( t ) d t = ∫ 2 t d t = t 2 + C 1 v ( 0 ) = 0 v(0)=0 v ( 0 ) = 0 C 1 = 0 C_1=0 C 1 = 0 v ( t ) = t 2 v(t)=t^2 v ( t ) = t 2 v ( t ) = s ′ ( t ) v(t)=s'(t) v ( t ) = s ′ ( t ) s ( t ) = ∫ v ( t ) d t = ∫ t 2 d t = 1 3 t 3 + C 2 s(t)=\int v(t)dt=\int t^2 dt=\frac{1}{3}t^3 + C_2 s ( t ) = ∫ v ( t ) d t = ∫ t 2 d t = 3 1 t 3 + C 2 s ( 0 ) = 0 s(0)=0 s ( 0 ) = 0 C 2 = 0 C_2=0 C 2 = 0 s ( t ) = 1 3 t 3 s(t)=\frac{1}{3}t^3 s ( t ) = 3 1 t 3
电气工程 ：电容电压的计算。已知电容电流i ( t ) = I 0 sin ω t i(t)=I_0\sin\omega t i ( t ) = I 0 sin ω t i ( t ) = C d u C d t i(t)=C \frac{du_C}{dt} i ( t ) = C d t d u C C C C d u C d t = I 0 C sin ω t \frac{du_C}{dt}=\frac{I_0}{C}\sin\omega t d t d u C = C I 0 sin ω t u C ( t ) = ∫ I 0 C sin ω t d t = − I 0 C ω cos ω t + C u_C(t)=\int \frac{I_0}{C}\sin\omega t dt=-\frac{I_0}{C\omega}\cos\omega t + C u C ( t ) = ∫ C I 0 sin ω t d t = − C ω I 0 cos ω t + C u C ( 0 ) = U 0 u_C(0)=U_0 u C ( 0 ) = U 0 C C C u C ( t ) u_C(t) u C ( t )
核心定位 ：“不定积分的深化”，解决 “曲边梯形面积”“变力做功” 等 “累加求和” 问题，是积分学的核心。
重要概念 ：
定积分定义：∫ a b f ( x ) d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i ∫ a b f ( x ) d x = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i λ = max { Δ x 1 , … , Δ x n } \lambda=\max\{\Delta x_1,\dots,\Delta x_n\} λ = max { Δ x 1 , … , Δ x n } f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f ( x ) ≥ 0 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x x x x = a x=a x = a x = b x=b x = b
可积条件：闭区间上的连续函数、单调有界函数、只有有限个间断点的有界函数均可积。
核心性质 ：
∫ a a f ( x ) d x = 0 \int_a^a f(x)dx=0 ∫ a a f ( x ) d x = 0
∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x
线性性质：∫ a b [ k 1 f ( x ) + k 2 g ( x ) ] d x = k 1 ∫ a b f ( x ) d x + k 2 ∫ a b g ( x ) d x \int_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int_a^b f(x)dx+k_2\int_a^b g(x)dx ∫ a b [ k 1 f ( x ) + k 2 g ( x )] d x = k 1 ∫ a b f ( x ) d x + k 2 ∫ a b g ( x ) d x
区间可加性：∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x c c c [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
估值定理：若m ≤ f ( x ) ≤ M m\leq f(x)\leq M m ≤ f ( x ) ≤ M [ a , b ] [a,b] [ a , b ] m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a) m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a )
中值定理：若f ( x ) f(x) f ( x ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ∃ ξ ∈ [ a , b ] \exists\xi\in[a,b] ∃ ξ ∈ [ a , b ] ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) f ( ξ ) f(\xi) f ( ξ )
牛顿 - 莱布尼茨公式（核心，连接不定积分与定积分）：若f ( x ) f(x) f ( x ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) [ F ( x ) ] a b [F(x)]_a^b [ F ( x ) ] a b
定积分的换元法：令x = ψ ( t ) x=\psi(t) x = ψ ( t ) x = a x=a x = a t = α t=\alpha t = α x = b x=b x = b t = β t=\beta t = β ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f [ ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) d t \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f[\psi(t)]\psi'(t)dt ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f [ ψ ( t )] ψ ′ ( t ) d t
定积分的分部积分法：∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b v ( x ) u ′ ( x ) d x \int_a^b u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)dx ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b v ( x ) u ′ ( x ) d x ∫ a b u d v = [ u v ] a b − ∫ a b v d u \int_a^b udv=[uv]_a^b - \int_a^b vdu ∫ a b u d v = [ uv ] a b − ∫ a b v d u
反常积分（广义积分，突破 “有限区间、有界函数” 限制）：
无穷限反常积分：∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x \int_a^{+\infty} f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)dx ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x \int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)dx ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x
无界函数反常积分：若f ( x ) f(x) f ( x ) x = a x=a x = a ∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 + ∫ a + ε b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx ∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 + ∫ a + ε b f ( x ) d x
定积分的几何应用： 平面图形面积：曲线y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) y = g ( x ) y=g(x) y = g ( x ) f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\geq g(x) f ( x ) ≥ g ( x ) x = a x=a x = a x = b x=b x = b S = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x S=\int_a^b [f(x)-g(x)]dx S = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x )] d x
旋转体体积：曲线y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x = a x=a x = a x = b x=b x = b x x x x x x V = π ∫ a b [ f ( x ) ] 2 d x V=\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx V = π ∫ a b [ f ( x ) ] 2 d x
工程应用：定积分 —— 单参数总量累积计算
机械工程 ：变力做功与电机能耗计算。起重机提升重物时，若重物所受空气阻力F 阻 = k v F_{\text{阻}}=kv F 阻 = k v k k k v v v F = F G + k v F=F_G+kv F = F G + k v F G F_G F G h 1 h_1 h 1 h 2 h_2 h 2 W = ∫ h 1 h 2 F d h W=\int_{h_1}^{h_2} F dh W = ∫ h 1 h 2 F d h η \eta η E = W η E=\frac{W}{\eta} E = η W
土木工程 ：变截面梁的重量计算。某混凝土梁的截面宽度b b b h ( x ) h(x) h ( x ) x x x h ( x ) = h 0 + h 1 − h 0 L x h(x)=h_0+\frac{h_1-h_0}{L}x h ( x ) = h 0 + L h 1 − h 0 x L L L A ( x ) = b h ( x ) A(x)=b h(x) A ( x ) = bh ( x ) V = ∫ 0 L A ( x ) d x V=\int_{0}^{L} A(x) dx V = ∫ 0 L A ( x ) d x ρ \rho ρ G = ρ V G=\rho V G = ρ V
电气工程 ：输电线路的电能损耗计算。高压输电线路的电阻随长度x x x R ( x ) = R 0 ( 1 + α x ) R(x)=R_0(1+\alpha x) R ( x ) = R 0 ( 1 + αx ) R 0 R_0 R 0 α \alpha α I I I P = ∫ 0 L I 2 R ( x ) d x P=\int_{0}^{L} I^2 R(x) dx P = ∫ 0 L I 2 R ( x ) d x L L L
核心定位 ：第 5 章的延伸，将定积分应用于几何、物理等实际问题，强调 “微元法” 思想。
建立坐标系，确定积分变量（如x x x [ a , b ] [a,b] [ a , b ]
在[ a , b ] [a,b] [ a , b ] [ x , x + d x ] [x,x+dx] [ x , x + d x ] d S dS d S d V dV d V d W dW d W
对微元在[ a , b ] [a,b] [ a , b ] S = ∫ a b d S S=\int_a^b dS S = ∫ a b d S V = ∫ a b d V V=\int_a^b dV V = ∫ a b d V
几何应用：除第 5 章的面积、旋转体体积外，新增两类核心应用： 平面曲线的弧长：若曲线由y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x ∈ [ a , b ] d s = 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x ds=\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx d s = 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x s=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases} { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t ∈ [ α , β ] s = ∫ α β [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t s=\int_\alpha^\beta \sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt s = ∫ α β [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t
旋转体的侧面积：曲线y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x ∈ [ a , b ] x x x d A = 2 π y ⋅ d s = 2 π f ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x dA=2\pi y \cdot ds=2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx d A = 2 π y ⋅ d s = 2 π f ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x A = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x A=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx A = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x
物理应用： 变力做功：若变力F ( x ) F(x) F ( x ) x x x x = a x=a x = a x = b x=b x = b d W = F ( x ) d x dW=F(x)dx d W = F ( x ) d x W = ∫ a b F ( x ) d x W=\int_a^b F(x)dx W = ∫ a b F ( x ) d x F = k x F=kx F = k x 0 0 0 l l l W = ∫ 0 l k x d x = 1 2 k l 2 W=\int_0^l kx dx=\frac{1}{2}kl^2 W = ∫ 0 l k x d x = 2 1 k l 2
液体压力：液体中深度h h h p = ρ g h p=\rho g h p = ρ g h ρ \rho ρ g g g d S dS d S h ( x ) h(x) h ( x ) d F = p ⋅ d S = ρ g h ( x ) d S dF=p \cdot dS=\rho g h(x)dS d F = p ⋅ d S = ρ g h ( x ) d S F = ∬ D ρ g h ( x ) d S F=\iint_D \rho g h(x)dS F = ∬ D ρ g h ( x ) d S D D D
引力：两个质点间的引力F = G m 1 m 2 r 2 F=G\frac{m_1m_2}{r^2} F = G r 2 m 1 m 2 G G G r r r d m dm d m d F ⃗ d\vec{F} d F
核心定位 ：“描述变量之间导数关系的方程”，是解决动态变化问题的重要工具（如人口增长、振动问题、热传导）。
重要概念 ：
微分方程：含未知函数及其导数的方程，记为F ( x , y , y ′ , … , y ( n ) ) = 0 F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0 F ( x , y , y ′ , … , y ( n ) ) = 0 y ′ = 2 x y'=2x y ′ = 2 x y ′ ′ + y = 0 y''+y=0 y ′′ + y = 0
阶：微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数（如y ′ = 2 x y'=2x y ′ = 2 x y ′ ′ + y = 0 y''+y=0 y ′′ + y = 0
解：满足微分方程的函数（通解：含n n n n n n y ( x 0 ) = y 0 y(x_0)=y_0 y ( x 0 ) = y 0 y ′ ( x 0 ) = y 1 y'(x_0)=y_1 y ′ ( x 0 ) = y 1
一阶微分方程： 可分离变量方程：形式d y d x = f ( x ) g ( y ) \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) d x d y = f ( x ) g ( y ) d y g ( y ) = f ( x ) d x \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx g ( y ) d y = f ( x ) d x ∫ d y g ( y ) = ∫ f ( x ) d x \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx ∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x
一阶线性微分方程：形式d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) d x d y + P ( x ) y = Q ( x ) P ( x ) , Q ( x ) P(x),Q(x) P ( x ) , Q ( x ) y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right] y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] C C C Q ( x ) = 0 Q(x)=0 Q ( x ) = 0 y = C e − ∫ P ( x ) d x y=Ce^{-\int P(x)dx} y = C e − ∫ P ( x ) d x
可降阶的高阶微分方程（二阶为主）： y ′ ′ = f ( x ) y''=f(x) y ′′ = f ( x ) y ′ = ∫ f ( x ) d x + C 1 y'=\int f(x)dx + C_1 y ′ = ∫ f ( x ) d x + C 1 y = ∫ [ ∫ f ( x ) d x + C 1 ] d x + C 2 y=\int\left[\int f(x)dx + C_1\right]dx + C_2 y = ∫ [ ∫ f ( x ) d x + C 1 ] d x + C 2 C 1 , C 2 C_1,C_2 C 1 , C 2
y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y ′′ = f ( x , y ′ ) y y y p = y ′ p=y' p = y ′ y ′ ′ = p ′ y''=p' y ′′ = p ′ p ′ = f ( x , p ) p'=f(x,p) p ′ = f ( x , p ) p = φ ( x , C 1 ) p=\varphi(x,C_1) p = φ ( x , C 1 ) y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 y=\int\varphi(x,C_1)dx + C_2 y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2
y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y ′′ = f ( y , y ′ ) x x x p = y ′ p=y' p = y ′ y ′ ′ = p d p d y y''=p\frac{dp}{dy} y ′′ = p d y d p p d p d y = f ( y , p ) p\frac{dp}{dy}=f(y,p) p d y d p = f ( y , p ) p = ψ ( y , C 1 ) p=\psi(y,C_1) p = ψ ( y , C 1 ) d y ψ ( y , C 1 ) = d x \frac{dy}{\psi(y,C_1)}=dx ψ ( y , C 1 ) d y = d x x = ∫ d y ψ ( y , C 1 ) + C 2 x=\int\frac{dy}{\psi(y,C_1)} + C_2 x = ∫ ψ ( y , C 1 ) d y + C 2
二阶线性常系数微分方程： 齐次方程：y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y ′′ + p y ′ + q y = 0 p , q p,q p , q 求特征方程r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r 2 + p r + q = 0 r 1 , r 2 r_1,r_2 r 1 , r 2
若r 1 ≠ r 2 r_1\neq r_2 r 1 = r 2 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x
若r 1 = r 2 = r r_1=r_2=r r 1 = r 2 = r y = ( C 1 + C 2 x ) e r x y=(C_1+C_2x)e^{rx} y = ( C 1 + C 2 x ) e r x
若r 1 , 2 = α ± i β r_{1,2}=\alpha\pm i\beta r 1 , 2 = α ± i β α = − p 2 \alpha=-\frac{p}{2} α = − 2 p β = 4 q − p 2 2 \beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2} β = 2 4 q − p 2 y = e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x) y = e αx ( C 1 cos β x + C 2 sin β x )
下册共 6 章，核心是 “将一元函数微积分推广到多元函数（主要是二元）”，新增无穷级数（函数的 “无限项累加” 表示）和向量代数（空间几何工具），对应工程中 “多参数影响的系统”（如温度随空间坐标变化、应力随位置和时间变化）。
核心定位 ：为下册 “多元函数微积分” 提供空间几何工具（如空间曲线、曲面的方程），是多元函数的 “几何基础”，对应工程中 “三维空间的结构与运动”（如机械臂的空间轨迹、建筑的空间曲面）。
重要概念与公式 ：
向量定义：既有大小又有方向的量，记为a ⃗ = ( a x , a y , a z ) \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) a = ( a x , a y , a z ) ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) ( x 1 , y 1 , z 1 ) ( x 2 , y 2 , z 2 ) (x_2,y_2,z_2) ( x 2 , y 2 , z 2 ) a ⃗ = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \vec{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) a = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) ∣ a ⃗ ∣ = a x 2 + a y 2 + a z 2 |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} ∣ a ∣ = a x 2 + a y 2 + a z 2 e ⃗ a = a ⃗ ∣ a ⃗ ∣ \vec{e}_a=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} e a = ∣ a ∣ a a ⃗ \vec{a} a
向量运算：
线性运算：a ⃗ ± b ⃗ = ( a x ± b x , a y ± b y , a z ± b z ) \vec{a}\pm\vec{b}=(a_x\pm b_x,a_y\pm b_y,a_z\pm b_z) a ± b = ( a x ± b x , a y ± b y , a z ± b z ) k a ⃗ = ( k a x , k a y , k a z ) k\vec{a}=(k a_x,k a_y,k a_z) k a = ( k a x , k a y , k a z ) k > 0 k>0 k > 0 a ⃗ \vec{a} a k < 0 k<0 k < 0
点积（数量积）：a ⃗ ⋅ b ⃗ = a x b x + a y b y + a z b z = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ θ \theta θ a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b 0 ≤ θ ≤ π 0\leq\theta\leq\pi 0 ≤ θ ≤ π a ⃗ ⊥ b ⃗ ⇔ a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 a ⃗ ⋅ a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ 2 \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 Prj b ⃗ a ⃗ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ \text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|} Prj b a = ∣ b ∣ a ⋅ b
叉积（向量积）：a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a x a y a z b x b y b z ∣ = ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ) \vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=(a_y b_z - a_z b_y,a_z b_x - a_x b_z,a_x b_y - a_y b_x) a × b = i a x b x j a y b y k a z b z = ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ) ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin θ |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ a ⃗ , b ⃗ \vec{a},\vec{b} a , b a ⃗ ∥ b ⃗ ⇔ a ⃗ × b ⃗ = 0 ⃗ \vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0} a ∥ b ⇔ a × b = 0 a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a} a × b = − b × a
平面方程： 点法式：过点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=(A,B,C) n = ( A , B , C ) A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0
一般式：A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 A x + B y + C z + D = 0 A , B , C A,B,C A , B , C
截距式：x a + y b + z c = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 a x + b y + c z = 1 a , b , c a,b,c a , b , c x , y , z x,y,z x , y , z a , b , c ≠ 0 a,b,c\neq0 a , b , c = 0
直线方程： 参数式：过点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) s ⃗ = ( m , n , p ) \vec{s}=(m,n,p) s = ( m , n , p ) { x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t \begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + pt t t t t t t
对称式（点向式）：x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} m x − x 0 = n y − y 0 = p z − z 0 m , n , p m,n,p m , n , p x − 1 0 = y − 2 1 = z − 3 2 \frac{x-1}{0}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} 0 x − 1 = 1 y − 2 = 2 z − 3 x = 1 x=1 x = 1 y = 2 + t y=2+t y = 2 + t z = 3 + 2 t z=3+2t z = 3 + 2 t
一般式：两平面的交线{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 s ⃗ = n 1 ⃗ × n 2 ⃗ \vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2} s = n 1 × n 2 n 1 ⃗ = ( A 1 , B 1 , C 1 ) \vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1) n 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) n 2 ⃗ = ( A 2 , B 2 , C 2 ) \vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2) n 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 )
3. 常见空间曲面：
球面：球心为( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) R R R ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = R 2 (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = R 2 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 x^2+y^2+z^2=R^2 x 2 + y 2 + z 2 = R 2
柱面：平行于某一坐标轴的直线（母线）沿定曲线（准线）移动形成的曲面；如圆柱面x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x 2 + y 2 = R 2 z z z x y xy x y x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x 2 + y 2 = R 2 y 2 = 2 p x y^2=2px y 2 = 2 p x z z z x y xy x y y 2 = 2 p x y^2=2px y 2 = 2 p x
旋转曲面：平面曲线绕某一坐标轴旋转形成的曲面；如曲线y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x ≥ 0 x\geq0 x ≥ 0 x x x y 2 + z 2 = [ f ( x ) ] 2 y^2+z^2=[f(x)]^2 y 2 + z 2 = [ f ( x ) ] 2 y = 2 p x y=\sqrt{2px} y = 2 p x x x x y 2 + z 2 = 2 p x y^2+z^2=2px y 2 + z 2 = 2 p x
圆锥面：顶点在原点，半顶角为α \alpha α z z z z 2 = k 2 ( x 2 + y 2 ) z^2=k^2(x^2+y^2) z 2 = k 2 ( x 2 + y 2 ) k = cot α k=\cot\alpha k = cot α
空间曲线的方程： 参数式：{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) t t t { x = a cos t y = a sin t z = b t \begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = a cos t y = a sin t z = b t a , b a,b a , b
一般式：两曲面的交线{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases} { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 { x 2 + y 2 = R 2 z = h \begin{cases}x^2+y^2=R^2\\z=h\end{cases} { x 2 + y 2 = R 2 z = h z = h z=h z = h
核心定位 ：“一元函数微分学” 在多元函数（主要是二元）上的推广，核心是 “偏导数”（单变量变化率）和 “全微分”（全增量近似），对应工程中 “多参数影响的系统分析”（如温度随时间和位置变化、产品质量随原料配比和温度变化）。
二元函数定义：设D ⊂ R 2 D\subset\mathbb{R}^2 D ⊂ R 2 D D D ( x , y ) ∈ D (x,y)\in D ( x , y ) ∈ D z ∈ R z\in\mathbb{R} z ∈ R z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) D D D z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 z = ln ( x y ) z=\ln(xy) z = ln ( x y ) x y > 0 xy>0 x y > 0
二元函数极限：lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = A \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = A ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ε |f(x,y)-A|<\varepsilon ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ε 关键 ：( x , y ) (x,y) ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x 2 + y 2 \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x y y = k x y=kx y = k x k 1 + k 2 \frac{k}{1+k^2} 1 + k 2 k k k k
二元函数连续：lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 )
偏导数：
对x x x y = y 0 y=y_0 y = y 0 f ( x , y 0 ) f(x,y_0) f ( x , y 0 ) x x x f x ( x 0 , y 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} f x ( x 0 , y 0 ) = lim Δ x → 0 Δ x f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) ∂ z ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} ∂ x ∂ z ( x 0 , y 0 )
对y y y x = x 0 x=x_0 x = x 0 f ( x 0 , y ) f(x_0,y) f ( x 0 , y ) y y y f y ( x 0 , y 0 ) = lim Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} f y ( x 0 , y 0 ) = lim Δ y → 0 Δ y f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ∂ z ∂ y ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} ∂ y ∂ z ( x 0 , y 0 )
几何意义：f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) f x ( x 0 , y 0 ) z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) y = y 0 y=y_0 y = y 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ) ) (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0) f y ( x 0 , y 0 )
高阶偏导数：二阶偏导数包括f x x = ∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ x ) f_{xx}=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) f xx = ∂ x 2 ∂ 2 z = ∂ x ∂ ( ∂ x ∂ z ) f x y = ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ y ( ∂ z ∂ x ) f_{xy}=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) f x y = ∂ x ∂ y ∂ 2 z = ∂ y ∂ ( ∂ x ∂ z ) f y x = ∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ y ) f_{yx}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) f y x = ∂ y ∂ x ∂ 2 z = ∂ x ∂ ( ∂ y ∂ z ) f y y = ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ ∂ y ( ∂ z ∂ y ) f_{yy}=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) f yy = ∂ y 2 ∂ 2 z = ∂ y ∂ ( ∂ y ∂ z ) f x y f_{xy} f x y f y x f_{yx} f y x D D D f x y = f y x f_{xy}=f_{yx} f x y = f y x 全微分： 定义：若二元函数z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 o ( ρ ) o(\rho) o ( ρ ) ρ \rho ρ d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x+B\Delta y d z = A Δ x + B Δ y
计算：若f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂ x ∂ z ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial y} ∂ y ∂ z A = ∂ z ∂ x A=\frac{\partial z}{\partial x} A = ∂ x ∂ z B = ∂ z ∂ y B=\frac{\partial z}{\partial y} B = ∂ y ∂ z d z = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy d z = ∂ x ∂ z d x + ∂ y ∂ z d y d x = Δ x dx=\Delta x d x = Δ x d y = Δ y dy=\Delta y d y = Δ y Δ z ≈ d z \Delta z\approx dz Δ z ≈ d z ρ \rho ρ
多元复合函数求导法则（链式法则）： 情形 1：z = f ( u , v ) z=f(u,v) z = f ( u , v ) u = φ ( x , y ) u=\varphi(x,y) u = φ ( x , y ) v = ψ ( x , y ) v=\psi(x,y) v = ψ ( x , y ) z z z x , y x,y x , y
∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x} ∂ x ∂ z = ∂ u ∂ z ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ v ∂ z ⋅ ∂ x ∂ v ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y} ∂ y ∂ z = ∂ u ∂ z ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ v ∂ z ⋅ ∂ y ∂ v
情形 2：z = f ( u , v ) z=f(u,v) z = f ( u , v ) u = φ ( t ) u=\varphi(t) u = φ ( t ) v = ψ ( t ) v=\psi(t) v = ψ ( t ) z z z t t t d z d t = ∂ z ∂ u ⋅ d u d t + ∂ z ∂ v ⋅ d v d t \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dt} d t d z = ∂ u ∂ z ⋅ d t d u + ∂ v ∂ z ⋅ d t d v
情形 3：z = f ( x , u , v ) z=f(x,u,v) z = f ( x , u , v ) u = φ ( x , y ) u=\varphi(x,y) u = φ ( x , y ) v = ψ ( x , y ) v=\psi(x,y) v = ψ ( x , y ) x x x
∂ z ∂ x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x} ∂ x ∂ z = ∂ x ∂ f + ∂ u ∂ f ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ v ∂ f ⋅ ∂ x ∂ v ∂ z ∂ y = ∂ f ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y} ∂ y ∂ z = ∂ u ∂ f ⋅ ∂ y ∂ u + ∂ v ∂ f ⋅ ∂ y ∂ v ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂ x ∂ z ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial x} ∂ x ∂ f x x x x x x
隐函数求导法则： 由F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F ( x , y , z ) = 0 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) ∂ z ∂ x = − F x F z \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} ∂ x ∂ z = − F z F x ∂ z ∂ y = − F y F z \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} ∂ y ∂ z = − F z F y F x , F y , F z F_x,F_y,F_z F x , F y , F z F F F x , y , z x,y,z x , y , z F z ≠ 0 F_z\neq0 F z = 0
由F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) d y d x = − F x F y \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} d x d y = − F y F x F y ≠ 0 F_y\neq0 F y = 0
多元函数的极值： 必要条件：若f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) f x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_x(x_0,y_0)=0 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_y(x_0,y_0)=0 f y ( x 0 , y 0 ) = 0
充分条件：设( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) A = f x x ( x 0 , y 0 ) A=f_{xx}(x_0,y_0) A = f xx ( x 0 , y 0 ) B = f x y ( x 0 , y 0 ) B=f_{xy}(x_0,y_0) B = f x y ( x 0 , y 0 ) C = f y y ( x 0 , y 0 ) C=f_{yy}(x_0,y_0) C = f yy ( x 0 , y 0 )
若A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 )
若A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 A < 0 A<0 A < 0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 )
若A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 )
若A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0
条件极值（拉格朗日乘数法）： 问题：求f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) φ ( x , y ) = 0 \varphi(x,y)=0 φ ( x , y ) = 0
步骤：1. 构造拉格朗日函数L ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y) L ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) λ \lambda λ { L x = 0 L y = 0 L λ = 0 \begin{cases}L_x=0\\L_y=0\\L_\lambda=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ L x = 0 L y = 0 L λ = 0 { f x + λ φ x = 0 f y + λ φ y = 0 φ ( x , y ) = 0 \begin{cases}f_x+\lambda\varphi_x=0\\f_y+\lambda\varphi_y=0\\ \varphi(x,y)=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ f x + λ φ x = 0 f y + λ φ y = 0 φ ( x , y ) = 0
推广：求f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) φ ( x , y , z ) = 0 \varphi(x,y,z)=0 φ ( x , y , z ) = 0 ψ ( x , y , z ) = 0 \psi(x,y,z)=0 ψ ( x , y , z ) = 0 L ( x , y , z , λ , μ ) = f + λ φ + μ ψ L(x,y,z,\lambda,\mu)=f+\lambda\varphi+\mu\psi L ( x , y , z , λ , μ ) = f + λ φ + μ ψ
空间几何应用： 空间曲线的切线与法平面：曲线Γ : { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \Gamma:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases} Γ : ⎩ ⎨ ⎧ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) t = t 0 t=t_0 t = t 0 s ⃗ = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) \vec{s}=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)) s = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 )) x − x ( t 0 ) x ′ ( t 0 ) = y − y ( t 0 ) y ′ ( t 0 ) = z − z ( t 0 ) z ′ ( t 0 ) \frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)} x ′ ( t 0 ) x − x ( t 0 ) = y ′ ( t 0 ) y − y ( t 0 ) = z ′ ( t 0 ) z − z ( t 0 ) x ′ ( t 0 ) ( x − x ( t 0 ) ) + y ′ ( t 0 ) ( y − y ( t 0 ) ) + z ′ ( t 0 ) ( z − z ( t 0 ) ) = 0 x'(t_0)(x-x(t_0))+y'(t_0)(y-y(t_0))+z'(t_0)(z-z(t_0))=0 x ′ ( t 0 ) ( x − x ( t 0 )) + y ′ ( t 0 ) ( y − y ( t 0 )) + z ′ ( t 0 ) ( z − z ( t 0 )) = 0
空间曲面的切平面与法线：曲面Σ : F ( x , y , z ) = 0 \Sigma:F(x,y,z)=0 Σ : F ( x , y , z ) = 0 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) n ⃗ = ( F x ( M 0 ) , F y ( M 0 ) , F z ( M 0 ) ) \vec{n}=(F_x(M_0),F_y(M_0),F_z(M_0)) n = ( F x ( M 0 ) , F y ( M 0 ) , F z ( M 0 )) F x ( M 0 ) ( x − x 0 ) + F y ( M 0 ) ( y − y 0 ) + F z ( M 0 ) ( z − z 0 ) = 0 F_x(M_0)(x-x_0)+F_y(M_0)(y-y_0)+F_z(M_0)(z-z_0)=0 F x ( M 0 ) ( x − x 0 ) + F y ( M 0 ) ( y − y 0 ) + F z ( M 0 ) ( z − z 0 ) = 0 x − x 0 F x ( M 0 ) = y − y 0 F y ( M 0 ) = z − z 0 F z ( M 0 ) \frac{x-x_0}{F_x(M_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(M_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(M_0)} F x ( M 0 ) x − x 0 = F y ( M 0 ) y − y 0 = F z ( M 0 ) z − z 0
核心定位 ：“定积分” 在平面 / 空间区域上的推广，核心是 “二重积分”（平面区域总量累积）和 “三重积分”（空间区域总量累积），对应工程中 “平面 / 空间分布物理量的总量计算”（如平面薄片的质量、空间物体的体积、电磁场的能量）。
二重积分定义：设f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) D D D D D D n n n Δ σ 1 , Δ σ 2 , … , Δ σ n \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n Δ σ 1 , Δ σ 2 , … , Δ σ n Δ σ i \Delta\sigma_i Δ σ i i i i ( ξ i , η i ) ∈ Δ σ i (\xi_i,\eta_i)\in\Delta\sigma_i ( ξ i , η i ) ∈ Δ σ i ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i λ → 0 \lambda\to0 λ → 0 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) D D D ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_D f(x,y)d\sigma ∬ D f ( x , y ) d σ f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq0 f ( x , y ) ≥ 0 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_D f(x,y)d\sigma ∬ D f ( x , y ) d σ D D D z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y )
可积条件：闭区域D D D
性质：与定积分类似，包括线性性质（∬ D [ k 1 f + k 2 g ] d σ = k 1 ∬ D f d σ + k 2 ∬ D g d σ \iint_D [k_1f+k_2g]d\sigma=k_1\iint_D f d\sigma+k_2\iint_D g d\sigma ∬ D [ k 1 f + k 2 g ] d σ = k 1 ∬ D fd σ + k 2 ∬ D g d σ D = D 1 ∪ D 2 D=D_1\cup D_2 D = D 1 ∪ D 2 ∬ D f d σ = ∬ D 1 f d σ + ∬ D 2 f d σ \iint_D f d\sigma=\iint_{D_1}f d\sigma+\iint_{D_2}f d\sigma ∬ D fd σ = ∬ D 1 fd σ + ∬ D 2 fd σ m ≤ f ≤ M m\leq f\leq M m ≤ f ≤ M m S ≤ ∬ D f d σ ≤ M S mS\leq\iint_D f d\sigma\leq MS m S ≤ ∬ D fd σ ≤ MS S S S D D D f f f D D D ( ξ , η ) (\xi,\eta) ( ξ , η ) ∬ D f d σ = f ( ξ , η ) S \iint_D f d\sigma=f(\xi,\eta)S ∬ D fd σ = f ( ξ , η ) S
直角坐标系下（面积元素d σ = d x d y d\sigma=dxdy d σ = d x d y X X X D = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) } D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)\} D = {( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x )} ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)dy ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y y y y x x x
Y Y Y D = { ( x , y ) ∣ c ≤ y ≤ d , ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) } D=\{(x,y)\mid c\leq y\leq d,\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y)\} D = {( x , y ) ∣ c ≤ y ≤ d , ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y )} ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)dx ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x x x x y y y
极坐标系下（适用于圆域、环形区域，坐标变换x = r cos θ x=r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y=r\sin\theta y = r sin θ d σ = r d r d θ d\sigma=r dr d\theta d σ = r d r d θ 若D = { ( r , θ ) ∣ α ≤ θ ≤ β , r 1 ( θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ ) } D=\{(r,\theta)\mid\alpha\leq\theta\leq\beta,r_1(\theta)\leq r\leq r_2(\theta)\} D = {( r , θ ) ∣ α ≤ θ ≤ β , r 1 ( θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ )} ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \iint_D f(x,y)dxdy=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r dr ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d r
特殊区域：圆心在原点的圆r ≤ R r\leq R r ≤ R ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \int_0^{2\pi} d\theta\int_0^R f(r\cos\theta,r\sin\theta)r dr ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R f ( r cos θ , r sin θ ) r d r R 1 ≤ r ≤ R 2 R_1\leq r\leq R_2 R 1 ≤ r ≤ R 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ R 1 R 2 f ( r cos θ , r sin θ ) r d r \int_0^{2\pi} d\theta\int_{R_1}^{R_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta)r dr ∫ 0 2 π d θ ∫ R 1 R 2 f ( r cos θ , r sin θ ) r d r
三重积分定义：设f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω n n n Δ V 1 , … , Δ V n \Delta V_1,\dots,\Delta V_n Δ V 1 , … , Δ V n Δ V i \Delta V_i Δ V i ( ξ i , η i , ζ i ) ∈ Δ V i (\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in\Delta V_i ( ξ i , η i , ζ i ) ∈ Δ V i ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ V i \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ V i ∭ Ω f ( x , y , z ) d V \iiint_\Omega f(x,y,z)dV ∭ Ω f ( x , y , z ) d V f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) Ω \Omega Ω ∭ Ω f d V \iiint_\Omega f dV ∭ Ω fd V
计算方法（化三重积分为三次积分）：
直角坐标系下（d V = d x d y d z dV=dxdydz d V = d x d y d z Ω \Omega Ω Ω = { ( x , y , z ) ∣ a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) , ψ 1 ( x , y ) ≤ z ≤ ψ 2 ( x , y ) } \Omega=\{(x,y,z)\mid a\leq x\leq b,\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),\psi_1(x,y)\leq z\leq\psi_2(x,y)\} Ω = {( x , y , z ) ∣ a ≤ x ≤ b , φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) , ψ 1 ( x , y ) ≤ z ≤ ψ 2 ( x , y )} ∭ Ω f d V = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) d y ∫ ψ 1 ( x , y ) ψ 2 ( x , y ) f d z \iiint_\Omega f dV=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} dy\int_{\psi_1(x,y)}^{\psi_2(x,y)} f dz ∭ Ω fd V = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) d y ∫ ψ 1 ( x , y ) ψ 2 ( x , y ) fd z
柱坐标系下（适用于圆柱面、圆锥面围成的区域，坐标变换x = r cos θ x=r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y=r\sin\theta y = r sin θ z = z z=z z = z d V = r d r d θ d z dV=r dr d\theta dz d V = r d r d θ d z ∭ Ω f d V = ∭ Ω ′ f ( r cos θ , r sin θ , z ) r d r d θ d z \iiint_\Omega f dV=\iiint_{\Omega'} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r dr d\theta dz ∭ Ω fd V = ∭ Ω ′ f ( r cos θ , r sin θ , z ) r d r d θ d z Ω ′ \Omega' Ω ′ Ω \Omega Ω
球坐标系下（适用于球面、圆锥面围成的区域，坐标变换x = r sin φ cos θ x=r\sin\varphi\cos\theta x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ y=r\sin\varphi\sin\theta y = r sin φ sin θ z = r cos φ z=r\cos\varphi z = r cos φ d V = r 2 sin φ d r d φ d θ dV=r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta d V = r 2 sin φ d r d φ d θ r ≥ 0 r\geq0 r ≥ 0 0 ≤ φ ≤ π 0\leq\varphi\leq\pi 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2 π 0\leq\theta\leq2\pi 0 ≤ θ ≤ 2 π ∭ Ω f d V = ∭ Ω ′ f ( r sin φ cos θ , r sin φ sin θ , r cos φ ) r 2 sin φ d r d φ d θ \iiint_\Omega f dV=\iiint_{\Omega'} f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta ∭ Ω fd V = ∭ Ω ′ f ( r sin φ cos θ , r sin φ sin θ , r cos φ ) r 2 sin φ d r d φ d θ
几何应用： 平面区域面积：S = ∬ D d σ S=\iint_D d\sigma S = ∬ D d σ x 2 + y 2 ≤ R 2 x^2+y^2\leq R^2 x 2 + y 2 ≤ R 2 S = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r d r = π R 2 S=\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^R r dr=\pi R^2 S = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r d r = π R 2
空间物体体积：V = ∭ Ω d V V=\iiint_\Omega dV V = ∭ Ω d V x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 x^2+y^2+z^2\leq R^2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin φ d φ ∫ 0 R r 2 d r = 4 3 π R 3 V=\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^\pi \sin\varphi d\varphi\int_0^R r^2 dr=\frac{4}{3}\pi R^3 V = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin φ d φ ∫ 0 R r 2 d r = 3 4 π R 3
曲面面积：曲面z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) D D D x y xy x y S = ∬ D 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y S=\iint_D \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy S = ∬ D 1 + ( ∂ x ∂ z ) 2 + ( ∂ y ∂ z ) 2 d x d y
物理应用： 质量：平面薄片质量m = ∬ D ρ ( x , y ) d σ m=\iint_D \rho(x,y)d\sigma m = ∬ D ρ ( x , y ) d σ m = ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d V m=\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dV m = ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d V ρ \rho ρ
重心（形心）：平面薄片重心( x ˉ , y ˉ ) = ( 1 m ∬ D x ρ d σ , 1 m ∬ D y ρ d σ ) (\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{1}{m}\iint_D x\rho d\sigma,\frac{1}{m}\iint_D y\rho d\sigma\right) ( x ˉ , y ˉ ) = ( m 1 ∬ D x ρ d σ , m 1 ∬ D y ρ d σ ) ( x ˉ , y ˉ , z ˉ ) = ( 1 m ∭ Ω x ρ d V , 1 m ∭ Ω y ρ d V , 1 m ∭ Ω z ρ d V ) (\bar{x},\bar{y},\bar{z})=\left(\frac{1}{m}\iiint_\Omega x\rho dV,\frac{1}{m}\iiint_\Omega y\rho dV,\frac{1}{m}\iiint_\Omega z\rho dV\right) ( x ˉ , y ˉ , z ˉ ) = ( m 1 ∭ Ω x ρ d V , m 1 ∭ Ω y ρ d V , m 1 ∭ Ω z ρ d V )
转动惯量：平面薄片对x x x I x = ∬ D y 2 ρ d σ I_x=\iint_D y^2\rho d\sigma I x = ∬ D y 2 ρ d σ y y y I y = ∬ D x 2 ρ d σ I_y=\iint_D x^2\rho d\sigma I y = ∬ D x 2 ρ d σ z z z I z = ∭ Ω ( x 2 + y 2 ) ρ d V I_z=\iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho dV I z = ∭ Ω ( x 2 + y 2 ) ρ d V
核心定位 ：“重积分” 的进一步推广，积分区域从 “平面 / 空间区域” 变为 “曲线 / 曲面”，核心是 “曲线积分”（沿路径的总量）和 “曲面积分”（穿过曲面的总量），对应工程中 “路径相关”“曲面相关” 的物理量计算（如力沿路径做功、流体穿过曲面的流量）。
定义：设L L L f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) L L L L L L n n n Δ s 1 , … , Δ s n \Delta s_1,\dots,\Delta s_n Δ s 1 , … , Δ s n Δ s i \Delta s_i Δ s i ( ξ i , η i ) ∈ Δ s i (\xi_i,\eta_i)\in\Delta s_i ( ξ i , η i ) ∈ Δ s i lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i ∫ L f ( x , y ) d s \int_L f(x,y)ds ∫ L f ( x , y ) d s f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) L L L ∫ L f d s \int_L f ds ∫ L fd s
计算方法：
若L L L { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases} { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) α ≤ t ≤ β \alpha\leq t\leq\beta α ≤ t ≤ β d s = [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t ds=\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt d s = [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f [ φ ( t ) , ψ ( t ) ] [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t \int_L f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f [ φ ( t ) , ψ ( t )] [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 d t
若L L L y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) a ≤ x ≤ b a\leq x\leq b a ≤ x ≤ b d s = 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x ds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx d s = 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f [ x , y ( x ) ] 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x \int_L f(x,y)ds=\int_a^b f[x,y(x)]\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f [ x , y ( x )] 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x
空间曲线Γ \Gamma Γ { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) z = ω ( t ) \begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\omega(t)\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) z = ω ( t ) α ≤ t ≤ β \alpha\leq t\leq\beta α ≤ t ≤ β d s = [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 + [ ω ′ ( t ) ] 2 d t ds=\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2+[\omega'(t)]^2}dt d s = [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 + [ ω ′ ( t ) ] 2 d t ∫ Γ f ( x , y , z ) d s = ∫ α β f [ φ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 + [ ω ′ ( t ) ] 2 d t \int_\Gamma f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t),\omega(t)]\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2+[\omega'(t)]^2}dt ∫ Γ f ( x , y , z ) d s = ∫ α β f [ φ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t )] [ φ ′ ( t ) ] 2 + [ ψ ′ ( t ) ] 2 + [ ω ′ ( t ) ] 2 d t
定义：设L L L F ⃗ ( x , y ) = ( P ( x , y ) , Q ( x , y ) ) \vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) F ( x , y ) = ( P ( x , y ) , Q ( x , y )) L L L n n n Δ s i \Delta s_i Δ s i x x x y y y Δ x i \Delta x_i Δ x i Δ y i \Delta y_i Δ y i ( ξ i , η i ) ∈ Δ s i (\xi_i,\eta_i)\in\Delta s_i ( ξ i , η i ) ∈ Δ s i lim λ → 0 ∑ i = 1 n [ P ( ξ i , η i ) Δ x i + Q ( ξ i , η i ) Δ y i ] \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n [P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i] lim λ → 0 ∑ i = 1 n [ P ( ξ i , η i ) Δ x i + Q ( ξ i , η i ) Δ y i ] ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y F ⃗ \vec{F} F L L L W = ∫ L F ⃗ ⋅ d s ⃗ W=\int_L \vec{F}\cdot d\vec{s} W = ∫ L F ⋅ d s d s ⃗ = ( d x , d y ) d\vec{s}=(dx,dy) d s = ( d x , d y )
计算方法：
若L L L { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) \begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases} { x = φ ( t ) y = ψ ( t ) t = α t=\alpha t = α t = β t=\beta t = β α \alpha α β \beta β ∫ L P d x + Q d y = ∫ α β [ P ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) φ ′ ( t ) + Q ( φ ( t ) , ψ ( t ) ) ψ ′ ( t ) ] d t \int_L Pdx+Qdy=\int_\alpha^\beta [P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt ∫ L P d x + Q d y = ∫ α β [ P ( φ ( t ) , ψ ( t )) φ ′ ( t ) + Q ( φ ( t ) , ψ ( t )) ψ ′ ( t )] d t
若L L L y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) x = a x=a x = a x = b x=b x = b ∫ L P d x + Q d y = ∫ a b [ P ( x , y ( x ) ) + Q ( x , y ( x ) ) y ′ ( x ) ] d x \int_L Pdx+Qdy=\int_a^b [P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)]dx ∫ L P d x + Q d y = ∫ a b [ P ( x , y ( x )) + Q ( x , y ( x )) y ′ ( x )] d x
核心定理：格林公式（平面曲线积分与二重积分的联系）： 条件：P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) Q ( x , y ) Q(x,y) Q ( x , y ) D D D L L L D D D L L L D D D
公式：∮ L P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \oint_L Pdx+Qdy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy ∮ L P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d x d y D D D
对面积的曲面积分（第一类曲面积分）： 定义：设Σ \Sigma Σ f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ n n n Δ S i \Delta S_i Δ S i ( ξ i , η i , ζ i ) ∈ Δ S i (\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in\Delta S_i ( ξ i , η i , ζ i ) ∈ Δ S i lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i , ζ i ) Δ S i ∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint_\Sigma f(x,y,z)dS ∬ Σ f ( x , y , z ) d S f f f Σ \Sigma Σ
计算：若Σ \Sigma Σ z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) D x y D_{xy} D x y d S = 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy d S = 1 + ( ∂ x ∂ z ) 2 + ( ∂ y ∂ z ) 2 d x d y ∬ Σ f d S = ∬ D x y f [ x , y , z ( x , y ) ] 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y \iint_\Sigma f dS=\iint_{D_{xy}} f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy ∬ Σ fd S = ∬ D x y f [ x , y , z ( x , y )] 1 + ( ∂ x ∂ z ) 2 + ( ∂ y ∂ z ) 2 d x d y y z yz yz x z xz x z
对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）： 定义：设Σ \Sigma Σ F ⃗ ( x , y , z ) = ( P , Q , R ) \vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R) F ( x , y , z ) = ( P , Q , R ) Σ \Sigma Σ n n n Δ S i \Delta S_i Δ S i y z yz yz x z xz x z x y xy x y Δ S i , y z \Delta S_{i,yz} Δ S i , yz Δ S i , x z \Delta S_{i,xz} Δ S i , x z Δ S i , x y \Delta S_{i,xy} Δ S i , x y lim λ → 0 ∑ i = 1 n [ P Δ S i , y z + Q Δ S i , x z + R Δ S i , x y ] \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n [P\Delta S_{i,yz}+Q\Delta S_{i,xz}+R\Delta S_{i,xy}] lim λ → 0 ∑ i = 1 n [ P Δ S i , yz + Q Δ S i , x z + R Δ S i , x y ] ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint_\Sigma P dydz+Q dzdx+R dxdy ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y Σ \Sigma Σ F ⃗ \vec{F} F
计算：若Σ \Sigma Σ z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) ∬ Σ R d x d y = ∬ D x y R [ x , y , z ( x , y ) ] d x d y \iint_\Sigma R dxdy=\iint_{D_{xy}} R[x,y,z(x,y)]dxdy ∬ Σ R d x d y = ∬ D x y R [ x , y , z ( x , y )] d x d y y z yz yz x z xz x z P d y d z P dydz P d y d z Q d z d x Q dzdx Q d z d x
核心定理：高斯公式（曲面积分与三重积分的联系）：
条件：P , Q , R P,Q,R P , Q , R Ω \Omega Ω Σ \Sigma Σ Ω \Omega Ω
公式：∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d V \oiint_\Sigma P dydz+Q dzdx+R dxdy=\iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ Ω ( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) d V Ω \Omega Ω
核心定位 ：研究 “无限项数列求和” 的收敛性与性质，核心是 “常数项级数”（数的无限累加）和 “函数项级数”（函数的无限累加），对应工程中 “近似计算”“信号分解”“函数逼近”（如电路谐波分析、机械振动频谱分析）。
常数项级数：设{ u n } \{u_n\} { u n } ∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + ⋯ + u n + … \sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\dots+u_n+\dots ∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + ⋯ + u n + … n n n S n = ∑ k = 1 n u k S_n=\sum_{k=1}^n u_k S n = ∑ k = 1 n u k lim n → ∞ S n = S \lim_{n\to\infty}S_n=S lim n → ∞ S n = S S S S
收敛必要条件：若∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^\infty u_n ∑ n = 1 ∞ u n lim n → ∞ u n = 0 \lim_{n\to\infty}u_n=0 lim n → ∞ u n = 0 ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} ∑ n = 1 ∞ n 1 lim n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 lim n → ∞ n 1 = 0
常见级数：
等比级数（几何级数）：∑ n = 0 ∞ a r n \sum_{n=0}^\infty ar^n ∑ n = 0 ∞ a r n ∣ r ∣ < 1 |r|<1 ∣ r ∣ < 1 a 1 − r \frac{a}{1-r} 1 − r a ∣ r ∣ ≥ 1 |r|\geq1 ∣ r ∣ ≥ 1
p p p ∑ n = 1 ∞ 1 n p \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} ∑ n = 1 ∞ n p 1 p > 1 p>1 p > 1 p ≤ 1 p\leq1 p ≤ 1 p = 1 p=1 p = 1
正项级数（u n ≥ 0 u_n\geq0 u n ≥ 0 比较审敛法：设∑ u n \sum u_n ∑ u n ∑ v n \sum v_n ∑ v n u n ≤ v n u_n\leq v_n u n ≤ v n ∑ v n \sum v_n ∑ v n ⇒ ∑ u n \Rightarrow\sum u_n ⇒ ∑ u n ∑ u n \sum u_n ∑ u n ⇒ ∑ v n \Rightarrow\sum v_n ⇒ ∑ v n p p p
比值审敛法（达朗贝尔判别法）：若lim n → ∞ u n + 1 u n = ρ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho lim n → ∞ u n u n + 1 = ρ ρ < 1 \rho<1 ρ < 1 ρ > 1 \rho>1 ρ > 1 ρ = 1 \rho=1 ρ = 1
根值审敛法：若lim n → ∞ u n n = ρ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho lim n → ∞ n u n = ρ
交错级数（∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n u n > 0 u_n>0 u n > 0 莱布尼茨审敛法：若u n u_n u n lim n → ∞ u n = 0 \lim_{n\to\infty}u_n=0 lim n → ∞ u n = 0 S ≤ u 1 S\leq u_1 S ≤ u 1 任意项级数审敛法： 幂级数：形如∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n x 0 x_0 x 0 x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^\infty a_n x^n ∑ n = 0 ∞ a n x n
收敛半径与收敛域：
收敛半径R R R R R R ∣ x − x 0 ∣ < R |x-x_0|<R ∣ x − x 0 ∣ < R ∣ x − x 0 ∣ > R |x-x_0|>R ∣ x − x 0 ∣ > R R R R lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho lim n → ∞ a n a n + 1 = ρ R = 1 ρ R=\frac{1}{\rho} R = ρ 1 ρ = 0 \rho=0 ρ = 0 R = + ∞ R=+\infty R = + ∞ ρ = + ∞ \rho=+\infty ρ = + ∞ R = 0 R=0 R = 0
收敛域：需验证∣ x − x 0 ∣ = R |x-x_0|=R ∣ x − x 0 ∣ = R
幂级数的性质： 和函数S ( x ) S(x) S ( x )
函数展开为幂级数（泰勒级数）：若f ( x ) f(x) f ( x ) x 0 x_0 x 0 ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n ∑ n = 0 ∞ n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} e x = ∑ n = 0 ∞ n ! x n x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} sin x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 x ∈ R x\in\mathbb{R} x ∈ R
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n 1 − x 1 = ∑ n = 0 ∞ x n ∣ x ∣ < 1 |x|<1 ∣ x ∣ < 1
周期函数的傅里叶级数：设f ( x ) f(x) f ( x ) 2 π 2\pi 2 π [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ] f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx) f ( x ) = 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x )
其中系数：a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx a 0 = π 1 ∫ − π π f ( x ) d x a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx a n = π 1 ∫ − π π f ( x ) cos n x d x n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , … b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx b n = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin n x d x n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , …
收敛性：在连续点x x x f ( x ) f(x) f ( x ) x x x f ( x + ) + f ( x − ) 2 \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} 2 f ( x + ) + f ( x − )
非周期函数的延拓： 奇延拓：将[ 0 , π ] [0,\pi] [ 0 , π ] f ( x ) f(x) f ( x ) [ − π , π ] [-\pi,\pi] [ − π , π ]
偶延拓：延拓为偶函数，展开为余弦级数。
周期为2 l 2l 2 l f ( x ) f(x) f ( x ) 2 l 2l 2 l f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π x l + b n sin n π x l ) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right) f ( x ) = 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos l nπ x + b n sin l nπ x ) a 0 = 1 l ∫ − l l f ( x ) d x a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)dx a 0 = l 1 ∫ − l l f ( x ) d x a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos n π x l d x a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx a n = l 1 ∫ − l l f ( x ) cos l nπ x d x n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , … b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin n π x l d x b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx b n = l 1 ∫ − l l f ( x ) sin l nπ x d x n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , … f ( x ) f(x) f ( x ) f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f ( − x ) = − f ( x ) a 0 = 0 a_0=0 a 0 = 0 a n = 0 a_n=0 a n = 0 ∑ n = 1 ∞ b n sin n π x l \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{l} ∑ n = 1 ∞ b n sin l nπ x f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f ( − x ) = f ( x ) b n = 0 b_n=0 b n = 0 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos n π x l \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi x}{l} 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos l nπ x 工程应用：无穷级数 —— 近似计算与信号分解的 “核心工具” 幂级数：复杂函数的近似计算 机械工程 ：齿轮齿形的 “数控加工编程”。渐开线齿轮的齿形曲线方程为x = r b ( cos θ + θ sin θ ) x=r_b(\cos\theta+\theta\sin\theta) x = r b ( cos θ + θ sin θ ) y = r b ( sin θ − θ cos θ ) y=r_b(\sin\theta-\theta\cos\theta) y = r b ( sin θ − θ cos θ ) r b r_b r b θ \theta θ θ sin θ \theta\sin\theta θ sin θ θ cos θ \theta\cos\theta θ cos θ sin θ ≈ θ − θ 3 6 + θ 5 120 \sin\theta\approx\theta-\frac{\theta^3}{6}+\frac{\theta^5}{120} sin θ ≈ θ − 6 θ 3 + 120 θ 5 cos θ ≈ 1 − θ 2 2 + θ 4 24 \cos\theta\approx1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{24} cos θ ≈ 1 − 2 θ 2 + 24 θ 4 θ \theta θ 0.1 % 0.1\% 0.1% x ≈ r b [ ( 1 − θ 2 2 + θ 4 24 ) + θ ( θ − θ 3 6 ) ] = r b ( 1 + θ 2 2 − θ 4 8 ) x\approx r_b\left[\left(1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{24}\right)+\theta\left(\theta-\frac{\theta^3}{6}\right)\right]=r_b\left(1+\frac{\theta^2}{2}-\frac{\theta^4}{8}\right) x ≈ r b [ ( 1 − 2 θ 2 + 24 θ 4 ) + θ ( θ − 6 θ 3 ) ] = r b ( 1 + 2 θ 2 − 8 θ 4 ) y ≈ r b [ ( θ − θ 3 6 ) − θ ( 1 − θ 2 2 ) ] = r b ( θ 3 3 ) y\approx r_b\left[\left(\theta-\frac{\theta^3}{6}\right)-\theta\left(1-\frac{\theta^2}{2}\right)\right]=r_b\left(\frac{\theta^3}{3}\right) y ≈ r b [ ( θ − 6 θ 3 ) − θ ( 1 − 2 θ 2 ) ] = r b ( 3 θ 3 )
电气工程 ：半导体器件的 “伏安特性分析”。二极管的伏安特性为I = I s ( e q U / k T − 1 ) I=I_s(e^{qU/kT}-1) I = I s ( e q U / k T − 1 ) I s I_s I s q q q k k k T T T U < 0.1 V U<0.1V U < 0.1 V e q U / k T ≈ 1 + q U k T + ( q U ) 2 2 ( k T ) 2 e^{qU/kT}\approx1+\frac{qU}{kT}+\frac{(qU)^2}{2(kT)^2} e q U / k T ≈ 1 + k T q U + 2 ( k T ) 2 ( q U ) 2 I ≈ I s ( q U k T + ( q U ) 2 2 ( k T ) 2 ) I\approx I_s\left(\frac{qU}{kT}+\frac{(qU)^2}{2(kT)^2}\right) I ≈ I s ( k T q U + 2 ( k T ) 2 ( q U ) 2 )
傅里叶级数：周期信号的 “频谱分解” 电气工程 ：电网的 “谐波治理”。理想电网电压为正弦波u ( t ) = 220 2 sin ( 100 π t ) u(t)=220\sqrt{2}\sin(100\pi t) u ( t ) = 220 2 sin ( 100 π t ) 50 H z 50Hz 50 Hz u ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n sin ( n ω t + φ n ) u(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(n\omega t+\varphi_n) u ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n sin ( nω t + φ n ) ω = 100 π \omega=100\pi ω = 100 π n = 1 n=1 n = 1 n = 3 , 5 , 7 n=3,5,7 n = 3 , 5 , 7 A 3 = 22 V A_3=22V A 3 = 22 V 10 % 10\% 10% A 3 A_3 A 3 11 V 11V 11 V
机械工程 ：旋转机械的 “故障诊断”。电机、风机等旋转机械的振动信号x ( t ) x(t) x ( t ) x ( t ) = ∑ n = 1 ∞ X n sin ( n ω t + φ n ) x(t)=\sum_{n=1}^\infty X_n\sin(n\omega t+\varphi_n) x ( t ) = ∑ n = 1 ∞ X n sin ( nω t + φ n ) ω \omega ω n n n ω = 2 π n 60 \omega=\frac{2\pi n}{60} ω = 60 2 πn X 1 X_1 X 1 X 1 = 0.1 m m X_1=0.1mm X 1 = 0.1 mm X 1 = 0.5 m m X_1=0.5mm X 1 = 0.5 mm X 2 , X 4 X_2,X_4 X 2 , X 4 X 2 X_2 X 2 0.05 m m 0.05mm 0.05 mm 0.3 m m 0.3mm 0.3 mm X 1 X_1 X 1
同济版《高等数学》的知识点并非孤立理论，而是围绕 “描述变量变化规律” 和 “解决实际问题” 构建的体系，其与工程应用的对应逻辑可归纳为以下 4 个核心维度：
聚焦 “工具属性” ：无需死记公式推导，重点掌握 “知识点对应何种工程问题”（如看到 “振动” 想到二阶微分方程，看到 “周期信号” 想到傅里叶级数）；
结合 “工程场景” 理解概念 ：如 “导数” 对应 “变化率”（速度、电流变化率），“积分” 对应 “总量累积”（功、热量、体积），“偏导数” 对应 “单因素影响”（温度对电阻的单独影响）；
通过 “实例练习” 强化应用 ：针对具体工程问题（如计算轴的转动惯量、分析电网谐波），尝试用对应高数工具求解，形成 “问题→工具→计算→结论” 的思维闭环。
高数的价值在于将复杂工程问题转化为可量化、可求解的数学模型，是工程师从 “经验设计” 走向 “精准设计” 的核心支撑 —— 掌握其与工程应用的对应逻辑，才能真正发挥高数的工具价值。
本书以 “代数工具解决几何问题，几何直观理解代数概念” 为核心逻辑，覆盖行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、特征值、二次型等核心内容，同时融入空间解析几何的直观背景，是理工科学生学习线性代数与几何的经典教材。以下严格遵循教材目录框架，拆解各章节核心知识点、公式定理，并结合机械、电气、土木、计算机等领域的工程应用，实现 “理论→公式→应用” 的闭环。
线性代数与解析几何（李继成 第三版）
├── 行列式
│ ├── 行列式的定义与性质
│ ├── 行列式的计算
│ ├── Cramer（克拉默）法则
│ └── 用MATLAB软件计算行列式
├── 矩阵
│ ├── 矩阵及其计算
│ ├── 逆矩阵
│ ├── 分块矩阵及其运算
│ ├── 初等变换与初等矩阵
│ ├── 矩阵的秩
│ └── 用MATLAB软件进行矩阵运算
├── 几何向量及其应用
│ ├── 向量及其线性运算
│ ├── 数量积 向量积 混合积
│ └── 平面和空间直线
├── n维向量与线性方程组
│ ├── 消元法
│ ├── 向量组的线性相关性
│ ├── 向量组的秩
│ ├── 线性方程组的解的结构
│ └── 用MATLAB软件解线性方程组
├── 线性空间与欧氏几何
│ ├── 线性空间的基本概念
│ ├── 欧氏空间的基本概念
│ └── 用MATLAB软件实现向量组正交化
├── 特征值与特征向量
│ ├── 矩阵的特征值与特征向量
│ ├── 相似矩阵与矩阵的相似对角化
│ ├── 应用举例
│ └── 用MATLAB软件计算矩阵的特征值、特征向量
├── 二次曲面与二次型
│ ├── 曲面与空间曲线
│ └── 实二次型
└── 线性变换
├── 线性变换及其运算
└── 线性变换的矩阵表示
教材定位 ：作为线性代数的入门工具，行列式用于求解低阶线性方程组（Cramer 法则），也是后续矩阵可逆性判定、特征值计算的基础，同时为几何中 “面积 / 体积” 的代数表示提供方法。
2 阶与 3 阶行列式 ：2 阶行列式：∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a 11 a 21 a 12 a 22 = a 11 a 22 − a 12 a 21 α = ( a 11 , a 21 ) \boldsymbol{\alpha}=(a_{11},a_{21}) α = ( a 11 , a 21 ) β = ( a 12 , a 22 ) \boldsymbol{\beta}=(a_{12},a_{22}) β = ( a 12 , a 22 )
3 阶行列式：∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) α = ( a 11 , a 21 , a 31 ) \boldsymbol{\alpha}=(a_{11},a_{21},a_{31}) α = ( a 11 , a 21 , a 31 ) β = ( a 12 , a 22 , a 32 ) \boldsymbol{\beta}=(a_{12},a_{22},a_{32}) β = ( a 12 , a 22 , a 32 ) γ = ( a 13 , a 23 , a 33 ) \boldsymbol{\gamma}=(a_{13},a_{23},a_{33}) γ = ( a 13 , a 23 , a 33 )
n 阶行列式定义 ：n n n D = det ( a i j ) = ∑ j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n D=\det(a_{ij})=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} D = det ( a ij ) = ∑ j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) \tau(j_1j_2\cdots j_n) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) j 1 j 2 ⋯ j n j_1j_2\cdots j_n j 1 j 2 ⋯ j n n n n
行列式的基本性质 ：
性质 1：行列式与它的转置行列式相等（D = D T D=D^T D = D T
性质 2：交换行列式的两行（列），行列式变号；
性质 3：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k k k k k k
性质 4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零；
性质 5：若行列式的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可拆分为两个行列式之和；
性质 6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变（核心性质，用于化简行列式）。
按行（列）展开定理 ：余子式：在n n n a i j a_{ij} a ij i i i j j j n − 1 n-1 n − 1 a i j a_{ij} a ij M i j M_{ij} M ij
代数余子式：A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} A ij = ( − 1 ) i + j M ij a i j a_{ij} a ij
展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a in A in i i i D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a nj A nj j j j
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a i 1 A k 1 + a i 2 A k 2 + ⋯ + a i n A k n = 0 a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0 a i 1 A k 1 + a i 2 A k 2 + ⋯ + a in A kn = 0 i ≠ k i\neq k i = k
常见行列式的计算方法 ：上（下）三角行列式：主对角线以下（上）的元素全为零，值等于主对角线元素的乘积，即∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} a 11 0 ⋮ 0 a 12 a 22 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a nn = a 11 a 22 ⋯ a nn
范德蒙行列式：∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j ) \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j) 1 x 1 x 1 2 ⋮ x 1 n − 1 1 x 2 x 2 2 ⋮ x 2 n − 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 x n x n 2 ⋮ x n n − 1 = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n ( x i − x j )
降阶法：利用性质将行列式化为某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，降低行列式阶数。
工程应用：行列式计算 —— 电路节点电流分析
电气工程 ：基尔霍夫电流定律的行列式表示。某 3 节点电路的电流方程为{ I 1 + I 2 + I 3 = 0 2 I 1 − I 2 + 3 I 3 = 5 − I 1 + 2 I 2 − I 3 = 3 \begin{cases}I_1+I_2+I_3=0\\2I_1-I_2+3I_3=5\\-I_1+2I_2-I_3=3\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ I 1 + I 2 + I 3 = 0 2 I 1 − I 2 + 3 I 3 = 5 − I 1 + 2 I 2 − I 3 = 3 D = ∣ 1 1 1 2 − 1 3 − 1 2 − 1 ∣ D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&3\\-1&2&-1\end{vmatrix} D = 1 2 − 1 1 − 1 2 1 3 − 1 D = 1 × ∣ − 1 3 2 − 1 ∣ − 1 × ∣ 2 3 − 1 − 1 ∣ + 1 × ∣ 2 − 1 − 1 2 ∣ = 1 × ( 1 − 6 ) − 1 × ( − 2 + 3 ) + 1 × ( 4 − 1 ) = − 5 − 1 + 3 = − 3 ≠ 0 D=1\times\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}2&3\\-1&-1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}2&-1\\-1&2\end{vmatrix}=1\times(1-6)-1\times(-2+3)+1\times(4-1)=-5-1+3=-3\neq0 D = 1 × − 1 2 3 − 1 − 1 × 2 − 1 3 − 1 + 1 × 2 − 1 − 1 2 = 1 × ( 1 − 6 ) − 1 × ( − 2 + 3 ) + 1 × ( 4 − 1 ) = − 5 − 1 + 3 = − 3 = 0 Cramer 法则 ：对于n n n { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = b n D = det ( a i j ) ≠ 0 D=\det(a_{ij})\neq0 D = det ( a ij ) = 0 x j = D j D x_j=\frac{D_j}{D} x j = D D j j = 1 , 2 , ⋯ , n j=1,2,\cdots,n j = 1 , 2 , ⋯ , n D j D_j D j D D D j j j b 1 , b 2 , ⋯ , b n b_1,b_2,\cdots,b_n b 1 , b 2 , ⋯ , b n n n n
推论 ：若齐次线性方程组（常数项全为 0）的系数行列式D ≠ 0 D\neq0 D = 0 D = 0 D=0 D = 0
定义矩阵：在 MATLAB 命令行中输入A = [a11,a12,...,a1n;a21,a22,...,a2n;...;an1,an2,...,ann]；
计算行列式：输入det(A)，输出结果即为行列式的值。
示例 ：计算 3 阶行列式∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix} 1 4 7 2 5 8 3 6 9 A = \[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
det(A) % 输出结果为0（因前两行元素成比例，行列式为0）
教材定位 ：矩阵是线性代数的 “核心工具”，将多变量线性关系、线性变换抽象为矩阵运算，广泛应用于方程组求解、数据变换、系统建模，同时为后续向量组、线性空间提供代数载体。
矩阵的概念 ：定义：由m × n m\times n m × n a i j a_{ij} a ij i = 1 , 2 , ⋯ , m i=1,2,\cdots,m i = 1 , 2 , ⋯ , m j = 1 , 2 , ⋯ , n j=1,2,\cdots,n j = 1 , 2 , ⋯ , n m m m n n n A = ( a i j ) m × n \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n} A = ( a ij ) m × n A m × n \boldsymbol{A}_{m\times n} A m × n
特殊矩阵：
行矩阵：m = 1 m=1 m = 1 A = ( a 11 , a 12 , ⋯ , a 1 n ) \boldsymbol{A}=(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}) A = ( a 11 , a 12 , ⋯ , a 1 n )
列矩阵：n = 1 n=1 n = 1 A = ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix} A = a 11 a 21 ⋮ a m 1
方阵：m = n m=n m = n A n \boldsymbol{A}_n A n a 11 , a 22 , ⋯ , a n n a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn} a 11 , a 22 , ⋯ , a nn
零矩阵：所有元素为 0，记为O m × n \boldsymbol{O}_{m\times n} O m × n
单位矩阵：n n n E n \boldsymbol{E}_n E n I n \boldsymbol{I}_n I n A E = A \boldsymbol{A}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{A} A E = A E A = A \boldsymbol{E}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} E A = A
对角矩阵：非主对角线元素全为 0，记为Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) \boldsymbol{\Lambda}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n )
上（下）三角矩阵：主对角线以下（上）的元素全为 0。
矩阵的代数运算 ：相等：若A = ( a i j ) m × n \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n} A = ( a ij ) m × n B = ( b i j ) m × n \boldsymbol{B}=(b_{ij})_{m\times n} B = ( b ij ) m × n a i j = b i j a_{ij}=b_{ij} a ij = b ij i , j i,j i , j A = B \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} A = B
加法：同型矩阵相加，元素对应相加，即A + B = ( a i j + b i j ) m × n \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n} A + B = ( a ij + b ij ) m × n A + B = B + A \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A} A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}) ( A + B ) + C = A + ( B + C )
数乘：数k k k k k k k A = ( k a i j ) m × n k\boldsymbol{A}=(ka_{ij})_{m\times n} k A = ( k a ij ) m × n k ( A + B ) = k A + k B k(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=k\boldsymbol{A}+k\boldsymbol{B} k ( A + B ) = k A + k B ( k l ) A = k ( l A ) (kl)\boldsymbol{A}=k(l\boldsymbol{A}) ( k l ) A = k ( l A )
乘法：设A = ( a i j ) m × s \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times s} A = ( a ij ) m × s B = ( b i j ) s × n \boldsymbol{B}=(b_{ij})_{s\times n} B = ( b ij ) s × n C = A B = ( c i j ) m × n \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=(c_{ij})_{m\times n} C = A B = ( c ij ) m × n c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j c_{ij}=\sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} c ij = ∑ k = 1 s a ik b kj 注意 ：不满足交换律（A B ≠ B A \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} A B = B A ( A B ) C = A ( B C ) (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = A B + A C \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{C} A ( B + C ) = A B + A C
矩阵的转置 ：定义：将A m × n \boldsymbol{A}_{m\times n} A m × n A n × m T \boldsymbol{A}^T_{n\times m} A n × m T ( A T ) i j = a j i (\boldsymbol{A}^T)_{ij}=a_{ji} ( A T ) ij = a ji
性质：( A T ) T = A (\boldsymbol{A}^T)^T=\boldsymbol{A} ( A T ) T = A ( A + B ) T = A T + B T (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{B}^T ( A + B ) T = A T + B T ( k A ) T = k A T (k\boldsymbol{A})^T=k\boldsymbol{A}^T ( k A ) T = k A T ( A B ) T = B T A T (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T ( A B ) T = B T A T
方阵的行列式 ：定义：n n n A \boldsymbol{A} A det ( A ) \det(\boldsymbol{A}) det ( A ) ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣ A ∣ n n n
性质：∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}^T|=|\boldsymbol{A}| ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |k\boldsymbol{A}|=k^n|\boldsymbol{A}| ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| ∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣ A , B \boldsymbol{A},\boldsymbol{B} A , B n n n
工程应用：矩阵运算 —— 数据变换与系统建模
计算机视觉 ：图像缩放的矩阵表示。某 2×2 像素图像的灰度值矩阵为I = ( 100 150 200 250 ) \boldsymbol{I}=\begin{pmatrix}100&150\\200&250\end{pmatrix} I = ( 100 200 150 250 ) S = ( 2 0 0 2 ) \boldsymbol{S}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} S = ( 2 0 0 2 ) I ′ = S I S T \boldsymbol{I}'=\boldsymbol{S}\boldsymbol{I}\boldsymbol{S}^T I ′ = S I S T I ′ = ( 200 300 400 500 ) \boldsymbol{I}'=\begin{pmatrix}200&300\\400&500\end{pmatrix} I ′ = ( 200 400 300 500 ) ( 200 255 255 255 ) \begin{pmatrix}200&255\\255&255\end{pmatrix} ( 200 255 255 255 )
自动化控制 ：系统状态的矩阵建模。某电机的转速ω \omega ω i i i x = ( ω i ) \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\omega\\i\end{pmatrix} x = ( ω i ) x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) \boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{B}u(k) x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) A = ( 0.9 0.1 0.2 0.8 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix} A = ( 0.9 0.2 0.1 0.8 ) B = ( 0.5 0.3 ) \boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0.5\\0.3\end{pmatrix} B = ( 0.5 0.3 ) u ( k ) u(k) u ( k ) x ( k ) = ( 100 5 ) \boldsymbol{x}(k)=\begin{pmatrix}100\\5\end{pmatrix} x ( k ) = ( 100 5 ) u ( k ) = 2 u(k)=2 u ( k ) = 2 x ( k + 1 ) = ( 0.9 × 100 + 0.1 × 5 + 0.5 × 2 0.2 × 100 + 0.8 × 5 + 0.3 × 2 ) = ( 91 24.6 ) \boldsymbol{x}(k+1)=\begin{pmatrix}0.9\times100+0.1\times5+0.5\times2\\0.2\times100+0.8\times5+0.3\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}91\\24.6\end{pmatrix} x ( k + 1 ) = ( 0.9 × 100 + 0.1 × 5 + 0.5 × 2 0.2 × 100 + 0.8 × 5 + 0.3 × 2 ) = ( 91 24.6 )
逆矩阵的定义与性质 ：定义：设A \boldsymbol{A} A n n n n n n B \boldsymbol{B} B A B = B A = E \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} A B = B A = E E \boldsymbol{E} E n n n A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B A \boldsymbol{A} A A − 1 \boldsymbol{A}^{-1} A − 1 A \boldsymbol{A} A
性质：若A \boldsymbol{A} A A − 1 \boldsymbol{A}^{-1} A − 1 ( A − 1 ) − 1 = A (\boldsymbol{A}^{-1})^{-1}=\boldsymbol{A} ( A − 1 ) − 1 = A ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (\boldsymbol{A}^T)^{-1}=(\boldsymbol{A}^{-1})^T ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1} ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 A , B \boldsymbol{A},\boldsymbol{B} A , B ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}|=|A|^{-1} ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1
可逆的充要条件 ：n n n A \boldsymbol{A} A ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 \Leftrightarrow|\boldsymbol{A}|\neq0 ⇔ ∣ A ∣ = 0 A \boldsymbol{A} A
伴随矩阵法求逆：A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^* A − 1 = ∣ A ∣ 1 A ∗ A ∗ \boldsymbol{A}^* A ∗ A \boldsymbol{A} A ( A ∗ ) i j = A j i (\boldsymbol{A}^*)_{ij}=A_{ji} ( A ∗ ) ij = A ji A j i A_{ji} A ji A \boldsymbol{A} A a j i a_{ji} a ji
逆矩阵的求解步骤（伴随矩阵法） ：
计算A \boldsymbol{A} A ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣ A ∣ ∣ A ∣ = 0 |\boldsymbol{A}|=0 ∣ A ∣ = 0 A \boldsymbol{A} A
计算A \boldsymbol{A} A A i j A_{ij} A ij
构造伴随矩阵A ∗ \boldsymbol{A}^* A ∗ A i j A_{ij} A ij
计算A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^* A − 1 = ∣ A ∣ 1 A ∗
工程应用：逆矩阵 —— 线性方程组求解与参数反演
电气工程 ：电路节点电压的求解。某 3 节点电路的节点电压方程为G U = I \boldsymbol{G}\boldsymbol{U}=\boldsymbol{I} G U = I G = ( 3 − 1 − 1 − 1 3 − 1 − 1 − 1 3 ) \boldsymbol{G}=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix} G = 3 − 1 − 1 − 1 3 − 1 − 1 − 1 3 I = ( 2 1 3 ) \boldsymbol{I}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} I = 2 1 3 U = ( U 1 U 2 U 3 ) \boldsymbol{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix} U = U 1 U 2 U 3 ∣ G ∣ = 16 ≠ 0 |\boldsymbol{G}|=16\neq0 ∣ G ∣ = 16 = 0 G \boldsymbol{G} G G ∗ = ( 8 4 4 4 8 4 4 4 8 ) \boldsymbol{G}^*=\begin{pmatrix}8&4&4\\4&8&4\\4&4&8\end{pmatrix} G ∗ = 8 4 4 4 8 4 4 4 8 G − 1 = 1 16 G ∗ \boldsymbol{G}^{-1}=\frac{1}{16}\boldsymbol{G}^* G − 1 = 16 1 G ∗ U = G − 1 I = 1 16 ( 8 × 2 + 4 × 1 + 4 × 3 4 × 2 + 8 × 1 + 4 × 3 4 × 2 + 4 × 1 + 8 × 3 ) = ( 1.5 1.25 2 ) \boldsymbol{U}=\boldsymbol{G}^{-1}\boldsymbol{I}=\frac{1}{16}\begin{pmatrix}8\times2+4\times1+4\times3\\4\times2+8\times1+4\times3\\4\times2+4\times1+8\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.5\\1.25\\2\end{pmatrix} U = G − 1 I = 16 1 8 × 2 + 4 × 1 + 4 × 3 4 × 2 + 8 × 1 + 4 × 3 4 × 2 + 4 × 1 + 8 × 3 = 1.5 1.25 2 U 1 = 1.5 V U_1=1.5V U 1 = 1.5 V U 2 = 1.25 V U_2=1.25V U 2 = 1.25 V U 3 = 2 V U_3=2V U 3 = 2 V
化工工程 ：反应速率常数的反演。某化学反应的浓度变化满足C = K k \boldsymbol{C}=\boldsymbol{K}\boldsymbol{k} C = K k C = ( 5 8 10 15 ) \boldsymbol{C}=\begin{pmatrix}5&8\\10&15\end{pmatrix} C = ( 5 10 8 15 ) K = ( 1 1 2 3 ) \boldsymbol{K}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix} K = ( 1 2 1 3 ) k = ( k 1 k 2 ) \boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\end{pmatrix} k = ( k 1 k 2 ) ∣ K ∣ = 1 ≠ 0 |\boldsymbol{K}|=1\neq0 ∣ K ∣ = 1 = 0 K − 1 = ( 3 − 1 − 2 1 ) \boldsymbol{K}^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix} K − 1 = ( 3 − 2 − 1 1 ) k = K − 1 C ( 1 0 ) \boldsymbol{k}=\boldsymbol{K}^{-1}\boldsymbol{C}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} k = K − 1 C ( 1 0 ) k = ( 3 × 5 − 1 × 10 − 2 × 5 + 1 × 10 ) = ( 5 0 ) \boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}3\times5-1\times10\\-2\times5+1\times10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix} k = ( 3 × 5 − 1 × 10 − 2 × 5 + 1 × 10 ) = ( 5 0 ) k 1 = 5 k_1=5 k 1 = 5 k 2 = 0 k_2=0 k 2 = 0
分块矩阵的定义 ：将m × n m\times n m × n A \boldsymbol{A} A A \boldsymbol{A} A A = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 t A 21 A 22 ⋯ A 2 t ⋮ ⋮ ⋮ A s 1 A s 2 ⋯ A s t ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}&\cdots&\boldsymbol{A}_{1t}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}&\cdots&\boldsymbol{A}_{2t}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{s1}&\boldsymbol{A}_{s2}&\cdots&\boldsymbol{A}_{st}\end{pmatrix} A = A 11 A 21 ⋮ A s 1 A 12 A 22 ⋮ A s 2 ⋯ ⋯ ⋯ A 1 t A 2 t ⋮ A s t A i j \boldsymbol{A}_{ij} A ij
分块矩阵的运算 ：
加法：若A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B A + B \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} A + B A i j + B i j \boldsymbol{A}_{ij}+\boldsymbol{B}_{ij} A ij + B ij
数乘：k A k\boldsymbol{A} k A k A i j k\boldsymbol{A}_{ij} k A ij
乘法：若A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B A \boldsymbol{A} A i i i B \boldsymbol{B} B j j j A B \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} A B C i j = ∑ k = 1 t A i k B k j \boldsymbol{C}_{ij}=\sum_{k=1}^t \boldsymbol{A}_{ik}\boldsymbol{B}_{kj} C ij = ∑ k = 1 t A ik B kj
转置：A T \boldsymbol{A}^T A T ( A i j ) T (\boldsymbol{A}_{ij})^T ( A ij ) T A T = ( A 11 T A 21 T ⋯ A s 1 T A 12 T A 22 T ⋯ A s 2 T ⋮ ⋮ ⋮ A 1 t T A 2 t T ⋯ A s t T ) \boldsymbol{A}^T=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}^T&\boldsymbol{A}_{21}^T&\cdots&\boldsymbol{A}_{s1}^T\\\boldsymbol{A}_{12}^T&\boldsymbol{A}_{22}^T&\cdots&\boldsymbol{A}_{s2}^T\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\boldsymbol{A}_{1t}^T&\boldsymbol{A}_{2t}^T&\cdots&\boldsymbol{A}_{st}^T\end{pmatrix} A T = A 11 T A 12 T ⋮ A 1 t T A 21 T A 22 T ⋮ A 2 t T ⋯ ⋯ ⋯ A s 1 T A s 2 T ⋮ A s t T
特殊分块矩阵 ：分块对角矩阵：子块仅在对角线上非零，记为A = diag ( A 11 , A 22 , ⋯ , A s s ) \boldsymbol{A}=\text{diag}(\boldsymbol{A}_{11},\boldsymbol{A}_{22},\cdots,\boldsymbol{A}_{ss}) A = diag ( A 11 , A 22 , ⋯ , A ss ) ∣ A ∣ = ∣ A 11 ∣ ∣ A 22 ∣ ⋯ ∣ A s s ∣ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}_{11}||\boldsymbol{A}_{22}|\cdots|\boldsymbol{A}_{ss}| ∣ A ∣ = ∣ A 11 ∣∣ A 22 ∣ ⋯ ∣ A ss ∣ A − 1 = diag ( A 11 − 1 , A 22 − 1 , ⋯ , A s s − 1 ) \boldsymbol{A}^{-1}=\text{diag}(\boldsymbol{A}_{11}^{-1},\boldsymbol{A}_{22}^{-1},\cdots,\boldsymbol{A}_{ss}^{-1}) A − 1 = diag ( A 11 − 1 , A 22 − 1 , ⋯ , A ss − 1 ) 工程应用：分块矩阵 —— 大型矩阵的简化运算
航空航天 ：卫星姿态矩阵的分块运算。卫星的姿态矩阵A \boldsymbol{A} A A = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}\end{pmatrix} A = ( A 11 A 21 A 12 A 22 ) A 11 = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) \boldsymbol{A}_{11}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} A 11 = ( a 11 a 21 a 12 a 22 ) A 12 = ( a 13 a 23 ) \boldsymbol{A}_{12}=\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\end{pmatrix} A 12 = ( a 13 a 23 ) A 21 = ( a 31 , a 32 ) \boldsymbol{A}_{21}=(a_{31},a_{32}) A 21 = ( a 31 , a 32 ) A 22 = ( a 33 ) \boldsymbol{A}_{22}=(a_{33}) A 22 = ( a 33 ) A − 1 ≈ diag ( A 11 − 1 , A 22 − 1 ) \boldsymbol{A}^{-1}\approx\text{diag}(\boldsymbol{A}_{11}^{-1},\boldsymbol{A}_{22}^{-1}) A − 1 ≈ diag ( A 11 − 1 , A 22 − 1 )
数据科学 ：大规模数据集的分块处理。某 1000×1000 的用户 - 商品评分矩阵R \boldsymbol{R} R R = ( R 11 R 12 R 21 R 22 ) \boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}_{11}&\boldsymbol{R}_{12}\\\boldsymbol{R}_{21}&\boldsymbol{R}_{22}\end{pmatrix} R = ( R 11 R 21 R 12 R 22 ) R 11 \boldsymbol{R}_{11} R 11 R 22 \boldsymbol{R}_{22} R 22 S = R R T \boldsymbol{S}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}^T S = R R T S = ( R 11 R 11 T + R 12 R 12 T R 11 R 21 T + R 12 R 22 T R 21 R 11 T + R 22 R 12 T R 21 R 21 T + R 22 R 22 T ) \boldsymbol{S}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}_{11}\boldsymbol{R}_{11}^T+\boldsymbol{R}_{12}\boldsymbol{R}_{12}^T&\boldsymbol{R}_{11}\boldsymbol{R}_{21}^T+\boldsymbol{R}_{12}\boldsymbol{R}_{22}^T\\\boldsymbol{R}_{21}\boldsymbol{R}_{11}^T+\boldsymbol{R}_{22}\boldsymbol{R}_{12}^T&\boldsymbol{R}_{21}\boldsymbol{R}_{21}^T+\boldsymbol{R}_{22}\boldsymbol{R}_{22}^T\end{pmatrix} S = ( R 11 R 11 T + R 12 R 12 T R 21 R 11 T + R 22 R 12 T R 11 R 21 T + R 12 R 22 T R 21 R 21 T + R 22 R 22 T )
矩阵的初等变换 ：初等行变换：①交换两行（记为r i ↔ r j r_i\leftrightarrow r_j r i ↔ r j k k k r i × k r_i\times k r i × k k k k r i + r j × k r_i+r_j\times k r i + r j × k
初等列变换：①交换两列（记为c i ↔ c j c_i\leftrightarrow c_j c i ↔ c j k k k c i × k c_i\times k c i × k k k k c i + c j × k c_i+c_j\times k c i + c j × k
等价矩阵：若A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B A ≅ B \boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B} A ≅ B
初等矩阵 ：定义：由单位矩阵E \boldsymbol{E} E
交换E \boldsymbol{E} E i , j i,j i , j E ( i , j ) E(i,j) E ( i , j )
E \boldsymbol{E} E i i i k k k E ( i ( k ) ) E(i(k)) E ( i ( k ))
E \boldsymbol{E} E i i i j j j k k k j j j i i i k k k E ( i , j ( k ) ) E(i,j(k)) E ( i , j ( k ))
性质：初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为同类初等矩阵（E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) E(i,j)^{-1}=E(i,j) E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1 / k ) ) E(i(k))^{-1}=E(i(1/k)) E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1/ k )) E ( i , j ( k ) ) − 1 = E ( i , j ( − k ) ) E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k)) E ( i , j ( k ) ) − 1 = E ( i , j ( − k ))
初等变换与初等矩阵的关系：对A m × n \boldsymbol{A}_{m\times n} A m × n A \boldsymbol{A} A m m m A \boldsymbol{A} A n n n
矩阵的标准形 ：任意m × n m\times n m × n A \boldsymbol{A} A Λ = ( E r O O O ) \boldsymbol{\Lambda}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_r&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{O}\end{pmatrix} Λ = ( E r O O O ) r r r A \boldsymbol{A} A E r \boldsymbol{E}_r E r r r r 工程应用：初等变换 —— 矩阵求逆与方程组求解
机械工程 ：齿轮传动比矩阵的求逆。某 3 级齿轮传动系统的传动比矩阵A = ( 2 1 0 1 2 1 0 1 2 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix} A = 2 1 0 1 2 1 0 1 2 ( A ∣ E ) = ( 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 ) (\boldsymbol{A}\mid\boldsymbol{E})=\begin{pmatrix}2&1&0&1&0&0\\1&2&1&0&1&0\\0&1&2&0&0&1\end{pmatrix} ( A ∣ E ) = 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r 1 ↔ r 2 r_1\leftrightarrow r_2 r 1 ↔ r 2 r 1 × 2 − r 2 r_1\times2-r_2 r 1 × 2 − r 2 r 2 − r 3 × 0.5 r_2-r_3\times0.5 r 2 − r 3 × 0.5 ( E ∣ A − 1 ) (\boldsymbol{E}\mid\boldsymbol{A}^{-1}) ( E ∣ A − 1 ) A − 1 = ( 0.375 − 0.25 0.125 − 0.25 0.5 − 0.25 0.125 − 0.25 0.375 ) \boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}0.375&-0.25&0.125\\-0.25&0.5&-0.25\\0.125&-0.25&0.375\end{pmatrix} A − 1 = 0.375 − 0.25 0.125 − 0.25 0.5 − 0.25 0.125 − 0.25 0.375 A − 1 \boldsymbol{A}^{-1} A − 1 ω o u t = ( 100 80 60 ) \boldsymbol{\omega}_{out}=\begin{pmatrix}100\\80\\60\end{pmatrix} ω o u t = 100 80 60 ω i n = A − 1 ω o u t = ( 32.5 40 27.5 ) \boldsymbol{\omega}_{in}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{\omega}_{out}=\begin{pmatrix}32.5\\40\\27.5\end{pmatrix} ω in = A − 1 ω o u t = 32.5 40 27.5
土木工程 ：桁架结构内力的求解（续）。对增广矩阵( K ∣ P ) = ( 3 − 1 − 1 5 − 1 3 − 1 3 − 1 − 1 3 4 ) (\boldsymbol{K}\mid\boldsymbol{P})=\begin{pmatrix}3&-1&-1&5\\-1&3&-1&3\\-1&-1&3&4\end{pmatrix} ( K ∣ P ) = 3 − 1 − 1 − 1 3 − 1 − 1 − 1 3 5 3 4
交换第 1、2 行：r 1 ↔ r 2 r_1\leftrightarrow r_2 r 1 ↔ r 2 ( − 1 3 − 1 3 3 − 1 − 1 5 − 1 − 1 3 4 ) \begin{pmatrix}-1&3&-1&3\\3&-1&-1&5\\-1&-1&3&4\end{pmatrix} − 1 3 − 1 3 − 1 − 1 − 1 − 1 3 3 5 4
第 2 行加第 1 行的 3 倍，第 3 行减第 1 行：r 2 + 3 r 1 r_2+3r_1 r 2 + 3 r 1 r 3 − r 1 r_3-r_1 r 3 − r 1 ( − 1 3 − 1 3 0 8 − 4 14 0 − 4 4 1 ) \begin{pmatrix}-1&3&-1&3\\0&8&-4&14\\0&-4&4&1\end{pmatrix} − 1 0 0 3 8 − 4 − 1 − 4 4 3 14 1
第 3 行加第 2 行的 0.5 倍：r 3 + 0.5 r 2 r_3+0.5r_2 r 3 + 0.5 r 2 ( − 1 3 − 1 3 0 8 − 4 14 0 0 2 8 ) \begin{pmatrix}-1&3&-1&3\\0&8&-4&14\\0&0&2&8\end{pmatrix} − 1 0 0 3 8 0 − 1 − 4 2 3 14 8
回代求解：由2 F 3 = 8 2F_3=8 2 F 3 = 8 F 3 = 4 F_3=4 F 3 = 4 8 F 2 − 4 × 4 = 14 8F_2-4\times4=14 8 F 2 − 4 × 4 = 14 F 2 = 3.25 F_2=3.25 F 2 = 3.25 − F 1 + 3 × 3.25 − 4 = 3 -F_1+3\times3.25-4=3 − F 1 + 3 × 3.25 − 4 = 3 F 1 = 2.75 F_1=2.75 F 1 = 2.75
最终内力F = ( 2.75 , 3.25 , 4 ) \boldsymbol{F}=(2.75,3.25,4) F = ( 2.75 , 3.25 , 4 )
矩阵秩的定义 ：子式：在m × n m\times n m × n A \boldsymbol{A} A k k k k k k 1 ≤ k ≤ min { m , n } 1\leq k\leq\min\{m,n\} 1 ≤ k ≤ min { m , n } k 2 k^2 k 2 k k k A \boldsymbol{A} A k k k
秩：矩阵A \boldsymbol{A} A r ( A ) r(\boldsymbol{A}) r ( A ) rank ( A ) \text{rank}(\boldsymbol{A}) rank ( A )
秩的性质 ：0 ≤ r ( A m × n ) ≤ min { m , n } 0\leq r(\boldsymbol{A}_{m\times n})\leq\min\{m,n\} 0 ≤ r ( A m × n ) ≤ min { m , n }
r ( A ) = r ( A T ) r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}^T) r ( A ) = r ( A T )
若A ≅ B \boldsymbol{A}\cong\boldsymbol{B} A ≅ B r ( A ) = r ( B ) r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B}) r ( A ) = r ( B )
若P \boldsymbol{P} P Q \boldsymbol{Q} Q m m m n n n r ( P A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) = r ( A ) r(\boldsymbol{P}\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q})=r(\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q})=r(\boldsymbol{A}) r ( P A ) = r ( A Q ) = r ( P A Q ) = r ( A )
对任意矩阵A m × s \boldsymbol{A}_{m\times s} A m × s B s × n \boldsymbol{B}_{s\times n} B s × n r ( A ) + r ( B ) − s ≤ r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})-s\leq r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\leq\min\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})\} r ( A ) + r ( B ) − s ≤ r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B )}
秩的求法 ：通过初等行变换将A \boldsymbol{A} A A \boldsymbol{A} A 矩阵创建 ：直接输入：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]（空格分隔列，分号分隔行）；
特殊矩阵：eye(n)（n 阶单位矩阵）、zeros(m,n)（m×n 零矩阵）、diag([a1,a2,...,an])（对角矩阵）。
矩阵运算 ：线性方程组求解 ：示例：MATLAB 求解桁架内力 （接 2.4 节土木工程案例）：% 定义刚度矩阵和荷载向量
K = \[3 -1 -1; -1 3 -1; -1 -1 3];
P = \[5; 3; 4];
% 求解内力F = K\P
F = K \ P;
% 输出结果：F = \[2.75; 3.25; 4]，与手动计算一致
disp(F);
教材定位 ：将向量从 “平面” 扩展到 “空间”，建立向量与几何图形的对应关系，通过向量运算解决空间中点、线、面的位置关系问题，同时为后续 n 维向量、线性空间提供直观几何背景。
向量的基本概念 ：向量定义：既有大小又有方向的量，记为a ⃗ \vec{a} a a \boldsymbol{a} a ∣ a ∣ |\boldsymbol{a}| ∣ a ∣
特殊向量：零向量（0 \boldsymbol{0} 0 ∣ e ∣ = 1 |\boldsymbol{e}|=1 ∣ e ∣ = 1 a \boldsymbol{a} a e a = a ∣ a ∣ \boldsymbol{e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} e a = ∣ a ∣ a − a -\boldsymbol{a} − a
向量的线性运算 ：加法：a + b \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} a + b b \boldsymbol{b} b a \boldsymbol{a} a a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b
数乘：k a k\boldsymbol{a} k a k > 0 k>0 k > 0 a \boldsymbol{a} a k ∣ a ∣ k|\boldsymbol{a}| k ∣ a ∣ k < 0 k<0 k < 0 a \boldsymbol{a} a ∣ k ∣ ∣ a ∣ |k||\boldsymbol{a}| ∣ k ∣∣ a ∣ k = 0 k=0 k = 0
运算律：加法交换律a + b = b + a \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) k ( a + b ) = k a + k b k(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=k\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b} k ( a + b ) = k a + k b ( k + l ) a = k a + l a (k+l)\boldsymbol{a}=k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{a} ( k + l ) a = k a + l a k ( l a ) = ( k l ) a k(l\boldsymbol{a})=(kl)\boldsymbol{a} k ( l a ) = ( k l ) a
向量共线、共面的充要条件 ：共线（平行）：a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b ⇔ \Leftrightarrow ⇔ k k k b = k a \boldsymbol{b}=k\boldsymbol{a} b = k a a ≠ 0 \boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0} a = 0
共面：a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b c \boldsymbol{c} c ⇔ \Leftrightarrow ⇔ k k k l l l c = k a + l b \boldsymbol{c}=k\boldsymbol{a}+l\boldsymbol{b} c = k a + l b a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b
空间坐标系与向量的坐标 ：空间直角坐标系：以原点O O O i \boldsymbol{i} i j \boldsymbol{j} j k \boldsymbol{k} k
向量的坐标表示：任意向量a \boldsymbol{a} a a = a x i + a y j + a z k \boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k} a = a x i + a y j + a z k a = ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z) a = ( a x , a y , a z ) a x a_x a x a y a_y a y a z a_z a z a \boldsymbol{a} a
线性运算的坐标表示：设a = ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z) a = ( a x , a y , a z ) b = ( b x , b y , b z ) \boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z) b = ( b x , b y , b z ) a + b = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z) a + b = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) k a = ( k a x , k a y , k a z ) k\boldsymbol{a}=(ka_x,ka_y,ka_z) k a = ( k a x , k a y , k a z )
两个向量的数量积（内积、点积） ：定义：a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta a ⋅ b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ θ \theta θ a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b 0 ≤ θ ≤ π 0\leq\theta\leq\pi 0 ≤ θ ≤ π
坐标表示：a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z
性质：a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2 a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 a ⋅ b = b ⋅ a \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} a ⋅ b = b ⋅ a ( k a ) ⋅ b = k ( a ⋅ b ) (k\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=k(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) ( k a ) ⋅ b = k ( a ⋅ b ) a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
投影公式：Prj b a = a ⋅ b ∣ b ∣ \text{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} Prj b a = ∣ b ∣ a ⋅ b a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b
两个向量的向量积（外积、叉积） ：定义：a × b \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} a × b ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b a × b \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} a × b
坐标表示：a × b = ∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣ = ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ) \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x) a × b = i a x b x j a y b y k a z b z = ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x )
性质：a × a = 0 \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0} a × a = 0 a ∥ b ⇔ a × b = 0 \boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0} a ∥ b ⇔ a × b = 0 a × b = − b × a \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} a × b = − b × a ( k a ) × b = k ( a × b ) (k\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=k(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) ( k a ) × b = k ( a × b ) a × ( b + c ) = a × b + a × c \boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c} a × ( b + c ) = a × b + a × c
混合积 ：定义：对三个向量a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b c \boldsymbol{c} c ( a × b ) ⋅ c (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c} ( a × b ) ⋅ c [ a b c ] [\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}] [ a b c ]
坐标表示：[ a b c ] = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ [\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}]=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix} [ a b c ] = a x b x c x a y b y c y a z b z c z
性质：
轮换对称性：[ a b c ] = [ b c a ] = [ c a b ] [\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}\boldsymbol{a}]=[\boldsymbol{c}\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}] [ a b c ] = [ b c a ] = [ c a b ]
反轮换性：交换任意两个向量，混合积变号，即[ a b c ] = − [ b a c ] = − [ a c b ] [\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}]=-[\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}\boldsymbol{c}]=-[\boldsymbol{a}\boldsymbol{c}\boldsymbol{b}] [ a b c ] = − [ b a c ] = − [ a c b ]
线性性：对第一个向量满足线性，即[ k a + d b c ] = k [ a b c ] + [ d b c ] [k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{d}\quad\boldsymbol{b}\quad\boldsymbol{c}]=k[\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}]+[\boldsymbol{d}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}] [ k a + d b c ] = k [ a b c ] + [ d b c ]
几何意义：∣ [ a b c ] ∣ |[\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}]| ∣ [ a b c ] ∣ a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b c \boldsymbol{c} c
共面判定：a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b c \boldsymbol{c} c ⇔ [ a b c ] = 0 \Leftrightarrow[\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}\boldsymbol{c}]=0 ⇔ [ a b c ] = 0
平面的方程 ：点法式方程：设平面过点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) n = ( A , B , C ) \boldsymbol{n}=(A,B,C) n = ( A , B , C ) A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M ( x , y , z ) M 0 M_0 M 0 M 0 M → = ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) \overrightarrow{M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0) M 0 M = ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) n \boldsymbol{n} n n ⋅ M 0 M → = 0 \boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0 n ⋅ M 0 M = 0
一般式方程：A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 A x + B y + C z + D = 0 A , B , C A,B,C A , B , C n = ( A , B , C ) \boldsymbol{n}=(A,B,C) n = ( A , B , C )
截距式方程：若平面在 x、y、z 轴上的截距分别为a , b , c a,b,c a , b , c a , b , c ≠ 0 a,b,c\neq0 a , b , c = 0 x a + y b + z c = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 a x + b y + c z = 1
三点式方程：设平面过不共线三点M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M_1(x_1,y_1,z_1) M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) M_2(x_2,y_2,z_2) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) M_3(x_3,y_3,z_3) M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) ∣ x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{vmatrix}=0 x − x 1 x 2 − x 1 x 3 − x 1 y − y 1 y 2 − y 1 y 3 − y 1 z − z 1 z 2 − z 1 z 3 − z 1 = 0
两个平面的位置关系 ：设平面Π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 \Pi_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 Π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 n 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) \boldsymbol{n}_1=(A_1,B_1,C_1) n 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) Π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \Pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 Π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 n 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 ) \boldsymbol{n}_2=(A_2,B_2,C_2) n 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 )
平行：n 1 ∥ n 2 \boldsymbol{n}_1\parallel\boldsymbol{n}_2 n 1 ∥ n 2 ⇔ A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 ≠ D 1 D 2 \Leftrightarrow\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq\frac{D_1}{D_2} ⇔ A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 = D 2 D 1
重合：A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = D 1 D 2 \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2} A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 = D 2 D 1
相交：n 1 \boldsymbol{n}_1 n 1 n 2 \boldsymbol{n}_2 n 2 ⇔ A 1 B 2 − A 2 B 1 \Leftrightarrow A_1B_2-A_2B_1 ⇔ A 1 B 2 − A 2 B 1 B 1 C 2 − B 2 C 1 B_1C_2-B_2C_1 B 1 C 2 − B 2 C 1 C 1 A 2 − C 2 A 1 C_1A_2-C_2A_1 C 1 A 2 − C 2 A 1
夹角：两平面的夹角θ \theta θ cos θ = ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ ∣ n 1 ∣ ∣ n 2 ∣ \cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|} cos θ = ∣ n 1 ∣∣ n 2 ∣ ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣
垂直：θ = 90 ∘ ⇔ n 1 ⋅ n 2 = 0 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 \theta=90^\circ\Leftrightarrow\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=0\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 θ = 9 0 ∘ ⇔ n 1 ⋅ n 2 = 0 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0
空间直线的方程 ：点向式（对称式）方程：设直线过点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) s = ( m , n , p ) \boldsymbol{s}=(m,n,p) s = ( m , n , p ) x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} m x − x 0 = n y − y 0 = p z − z 0 m = 0 m=0 m = 0 x = x 0 x=x_0 x = x 0
参数式方程：令x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p = t \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t m x − x 0 = n y − y 0 = p z − z 0 = t t t t { x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t \begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + pt t ∈ R t\in\mathbb{R} t ∈ R t t t
两点式方程：设直线过两点M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M_1(x_1,y_1,z_1) M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) M_2(x_2,y_2,z_2) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) s = M 1 M 2 → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \boldsymbol{s}=\overrightarrow{M_1M_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1) s = M 1 M 2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} x 2 − x 1 x − x 1 = y 2 − y 1 y − y 1 = z 2 − z 1 z − z 1
一般式方程：直线为两平面的交线，即{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 s = n 1 × n 2 \boldsymbol{s}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2 s = n 1 × n 2 n 1 , n 2 \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2 n 1 , n 2
两条直线的位置关系 ：设直线L 1 L_1 L 1 s 1 = ( m 1 , n 1 , p 1 ) \boldsymbol{s}_1=(m_1,n_1,p_1) s 1 = ( m 1 , n 1 , p 1 ) M 1 M_1 M 1 L 2 L_2 L 2 s 2 = ( m 2 , n 2 , p 2 ) \boldsymbol{s}_2=(m_2,n_2,p_2) s 2 = ( m 2 , n 2 , p 2 ) M 2 M_2 M 2
共面判定：向量M 1 M 2 → \overrightarrow{M_1M_2} M 1 M 2 s 1 \boldsymbol{s}_1 s 1 s 2 \boldsymbol{s}_2 s 2 ⇔ [ M 1 M 2 → s 1 s 2 ] = 0 \Leftrightarrow[\overrightarrow{M_1M_2}\quad\boldsymbol{s}_1\quad\boldsymbol{s}_2]=0 ⇔ [ M 1 M 2 s 1 s 2 ] = 0
相交：共面且s 1 \boldsymbol{s}_1 s 1 s 2 \boldsymbol{s}_2 s 2
平行：s 1 ∥ s 2 \boldsymbol{s}_1\parallel\boldsymbol{s}_2 s 1 ∥ s 2
异面：不共面；
夹角：两直线的夹角θ \theta θ cos θ = ∣ s 1 ⋅ s 2 ∣ ∣ s 1 ∣ ∣ s 2 ∣ \cos\theta=\frac{|\boldsymbol{s}_1\cdot\boldsymbol{s}_2|}{|\boldsymbol{s}_1||\boldsymbol{s}_2|} cos θ = ∣ s 1 ∣∣ s 2 ∣ ∣ s 1 ⋅ s 2 ∣
垂直：θ = 90 ∘ ⇔ s 1 ⋅ s 2 = 0 ⇔ m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0 \theta=90^\circ\Leftrightarrow\boldsymbol{s}_1\cdot\boldsymbol{s}_2=0\Leftrightarrow m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0 θ = 9 0 ∘ ⇔ s 1 ⋅ s 2 = 0 ⇔ m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 = 0
直线与平面的位置关系 ：设直线L L L s = ( m , n , p ) \boldsymbol{s}=(m,n,p) s = ( m , n , p ) Π \Pi Π n = ( A , B , C ) \boldsymbol{n}=(A,B,C) n = ( A , B , C )
平行：s ⊥ n ⇔ s ⋅ n = 0 ⇔ A m + B n + C p = 0 \boldsymbol{s}\perp\boldsymbol{n}\Leftrightarrow\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=0\Leftrightarrow Am+Bn+Cp=0 s ⊥ n ⇔ s ⋅ n = 0 ⇔ A m + B n + Cp = 0
直线在平面内：s ⋅ n = 0 \boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=0 s ⋅ n = 0
相交：s \boldsymbol{s} s n \boldsymbol{n} n ⇔ A m + B n + C p ≠ 0 \Leftrightarrow Am+Bn+Cp\neq0 ⇔ A m + B n + Cp = 0
夹角：直线与平面的夹角θ \theta θ sin θ = ∣ s ⋅ n ∣ ∣ s ∣ ∣ n ∣ \sin\theta=\frac{|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}||\boldsymbol{n}|} sin θ = ∣ s ∣∣ n ∣ ∣ s ⋅ n ∣
垂直：θ = 90 ∘ ⇔ s ∥ n ⇔ m A = n B = p C \theta=90^\circ\Leftrightarrow\boldsymbol{s}\parallel\boldsymbol{n}\Leftrightarrow\frac{m}{A}=\frac{n}{B}=\frac{p}{C} θ = 9 0 ∘ ⇔ s ∥ n ⇔ A m = B n = C p
距离公式 ：点到平面的距离：点M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) Π : A x + B y + C z + D = 0 \Pi:Ax+By+Cz+D=0 Π : A x + B y + C z + D = 0 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d = A 2 + B 2 + C 2 ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣
点到直线的距离：点M 0 M_0 M 0 L L L M 1 M_1 M 1 s \boldsymbol{s} s d = ∣ M 1 M 0 → × s ∣ ∣ s ∣ d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_0}\times\boldsymbol{s}|}{|\boldsymbol{s}|} d = ∣ s ∣ ∣ M 1 M 0 × s ∣
两平行平面的距离：转化为一个平面上的点到另一个平面的距离；
两异面直线的距离：d = ∣ [ M 1 M 2 → s 1 s 2 ] ∣ ∣ s 1 × s 2 ∣ d=\frac{|[\overrightarrow{M_1M_2}\quad\boldsymbol{s}_1\quad\boldsymbol{s}_2]|}{|\boldsymbol{s}_1\times\boldsymbol{s}_2|} d = ∣ s 1 × s 2 ∣ ∣ [ M 1 M 2 s 1 s 2 ] ∣ M 1 , M 2 M_1,M_2 M 1 , M 2 s 1 , s 2 \boldsymbol{s}_1,\boldsymbol{s}_2 s 1 , s 2
教材定位 ：将向量从 “3 维空间” 扩展到 “n 维空间”，建立 n 维向量的线性关系理论，为线性方程组的解结构分析提供工具，同时衔接后续线性空间的抽象概念，是线性代数的核心理论章节。
n 元线性方程组的形式 ：一般形式：{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = b m x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n a i j a_{ij} a ij b i b_i b i
矩阵形式：A x = b \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} A x = b A = ( a i j ) m × n \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n} A = ( a ij ) m × n x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T b = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b m ) T \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T b = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b m ) T
齐次线性方程组：A x = 0 \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} A x = 0 A x = b \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} A x = b
非齐次线性方程组：A x = b \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} A x = b b ≠ 0 \boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0} b = 0 b \boldsymbol{b} b A \boldsymbol{A} A A ‾ = ( A ∣ b ) \overline{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{A}\mid\boldsymbol{b}) A = ( A ∣ b )
消元法的原理与步骤 ：对A ‾ \overline{\boldsymbol{A}} A ( a 11 a 12 a 13 b 1 0 a 22 a 23 b 2 0 0 a 33 b 3 ) \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_1\\0&a_{22}&a_{23}&b_2\\0&0&a_{33}&b_3\end{pmatrix} a 11 0 0 a 12 a 22 0 a 13 a 23 a 33 b 1 b 2 b 3 a 11 , a 22 , a 33 ≠ 0 a_{11},a_{22},a_{33}\neq0 a 11 , a 22 , a 33 = 0
回代：从最后一行解出x 3 = b 3 a 33 x_3=\frac{b_3}{a_{33}} x 3 = a 33 b 3 x 2 x_2 x 2 x 1 x_1 x 1
线性方程组的解的判定（基于行阶梯形矩阵） ：设经初等行变换后，行阶梯形矩阵中非零行的行数为r r r n n n
非齐次方程组A x = b \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} A x = b
齐次方程组A x = 0 \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} A x = 0
数域 ：工程应用：消元法 —— 多变量线性方程组求解
化工工程 ：反应浓度的计算。某连续搅拌反应釜中，3 种物质的浓度x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3
{ 2 x 1 + x 2 − x 3 = 5 x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 0 3 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 7 \begin{cases}2x_1+x_2-x_3=5\\x_1-2x_2+3x_3=0\\3x_1-x_2+2x_3=7\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 2 x 1 + x 2 − x 3 = 5 x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 = 0 3 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 7
构造增广矩阵A ‾ = ( 2 1 − 1 5 1 − 2 3 0 3 − 1 2 7 ) \overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}2&1&-1&5\\1&-2&3&0\\3&-1&2&7\end{pmatrix} A = 2 1 3 1 − 2 − 1 − 1 3 2 5 0 7
( 1 − 2 3 0 0 5 − 7 5 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}1&-2&3&0\\0&5&-7&5\\0&0&0&0\end{pmatrix} 1 0 0 − 2 5 0 3 − 7 0 0 5 0 r = 2 < 3 r=2<3 r = 2 < 3
取自由未知数x 3 = t x_3=t x 3 = t t ∈ R t\in\mathbb{R} t ∈ R x 2 = 1 + 7 5 t x_2=1+\frac{7}{5}t x 2 = 1 + 5 7 t x 2 = 1 + 7 5 t x_2=1+\frac{7}{5}t x 2 = 1 + 5 7 t x 1 = 2 − 1 5 t x_1=2-\frac{1}{5}t x 1 = 2 − 5 1 t t = 0 t=0 t = 0 x 1 = 2 , x 2 = 1 , x 3 = 0 x_1=2,x_2=1,x_3=0 x 1 = 2 , x 2 = 1 , x 3 = 0 t = 1 t=1 t = 1 x 1 = 1.8 , x 2 = 2.4 , x 3 = 1 x_1=1.8,x_2=2.4,x_3=1 x 1 = 1.8 , x 2 = 2.4 , x 3 = 1 t t t t = 0 t=0 t = 0
电气工程 ：支路电流的求解。某直流电路有 4 条支路，电流I 1 , I 2 , I 3 , I 4 I_1,I_2,I_3,I_4 I 1 , I 2 , I 3 , I 4
{ I 1 − I 2 − I 3 = 0 I 3 + I 4 = 2 2 I 1 + I 2 = 6 I 2 + 3 I 3 − I 4 = 0 \begin{cases}I_1-I_2-I_3=0\\I_3+I_4=2\\2I_1+I_2=6\\I_2+3I_3-I_4=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ I 1 − I 2 − I 3 = 0 I 3 + I 4 = 2 2 I 1 + I 2 = 6 I 2 + 3 I 3 − I 4 = 0
增广矩阵A ‾ = ( 1 − 1 − 1 0 0 0 0 1 1 2 2 1 0 0 6 0 1 3 − 1 0 ) \overline{\boldsymbol{A}}=\begin{pmatrix}1&-1&-1&0&0\\0&0&1&1&2\\2&1&0&0&6\\0&1&3&-1&0\end{pmatrix} A = 1 0 2 0 − 1 0 1 1 − 1 1 0 3 0 1 0 − 1 0 2 6 0 r = 4 = n r=4=n r = 4 = n I 1 = 2 , I 2 = 2 , I 3 = 0 , I 4 = 2 I_1=2,I_2=2,I_3=0,I_4=2 I 1 = 2 , I 2 = 2 , I 3 = 0 , I 4 = 2 I 4 = 2 A I_4=2A I 4 = 2 A
n 维向量及其线性运算 ：定义：由n n n n n n α = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T α = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T α = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n) α = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) a i a_i a i α \boldsymbol{\alpha} α i i i
线性运算：设α = ( a 1 , ⋯ , a n ) T \boldsymbol{\alpha}=(a_1,\cdots,a_n)^T α = ( a 1 , ⋯ , a n ) T β = ( b 1 , ⋯ , b n ) T \boldsymbol{\beta}=(b_1,\cdots,b_n)^T β = ( b 1 , ⋯ , b n ) T α + β = ( a 1 + b 1 , ⋯ , a n + b n ) T \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=(a_1+b_1,\cdots,a_n+b_n)^T α + β = ( a 1 + b 1 , ⋯ , a n + b n ) T k α = ( k a 1 , ⋯ , k a n ) T k\boldsymbol{\alpha}=(ka_1,\cdots,ka_n)^T k α = ( k a 1 , ⋯ , k a n ) T k ∈ R k\in\mathbb{R} k ∈ R
线性表示与等价向量组 ：线性表示：若存在实数k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k 1 , k 2 , ⋯ , k s β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s \boldsymbol{\beta}=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s β \boldsymbol{\beta} β α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s
向量组等价：若向量组A : α 1 , ⋯ , α s A:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s A : α 1 , ⋯ , α s B : β 1 , ⋯ , β t B:\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t B : β 1 , ⋯ , β t A A A B B B A ≅ B A\cong B A ≅ B
性质：等价关系满足自反性、对称性、传递性。
线性相关与线性无关 ：线性相关：若存在不全为零的实数k 1 , ⋯ , k s k_1,\cdots,k_s k 1 , ⋯ , k s k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s=\boldsymbol{0} k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s
线性无关：若仅当k 1 = ⋯ = k s = 0 k_1=\cdots=k_s=0 k 1 = ⋯ = k s = 0 k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s=\boldsymbol{0} k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s
关键判定定理：
2 个向量线性相关⇔ \Leftrightarrow ⇔
n + 1 n+1 n + 1 n n n
若α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s α 1 , ⋯ , α s , β \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s,\boldsymbol{\beta} α 1 , ⋯ , α s , β β \boldsymbol{\beta} β α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s
线性相关⇔ \Leftrightarrow ⇔
线性相关性与矩阵秩的关系 ：设向量组α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s A = ( α 1 , ⋯ , α s ) \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s) A = ( α 1 , ⋯ , α s )
α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s ⇔ r ( A ) < s \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})<s ⇔ r ( A ) < s
α 1 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s α 1 , ⋯ , α s ⇔ r ( A ) = s \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=s ⇔ r ( A ) = s
向量组的极大无关组与向量组的秩 ：极大无关组：设向量组A A A A 0 : α 1 , ⋯ , α r A_0:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_r A 0 : α 1 , ⋯ , α r A 0 A_0 A 0 A A A A 0 A_0 A 0 A 0 A_0 A 0 A A A
性质：同一向量组的所有极大无关组所含向量个数相同；
向量组的秩：极大无关组所含向量的个数，记为r ( A ) r(A) r ( A )
向量组的秩与矩阵秩的关系 ：设矩阵A = ( α 1 , ⋯ , α n ) \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) A = ( α 1 , ⋯ , α n ) r ( A ) r(\boldsymbol{A}) r ( A )
推论：设向量组A : α 1 , ⋯ , α s A:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s A : α 1 , ⋯ , α s B : β 1 , ⋯ , β t B:\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t B : β 1 , ⋯ , β t A A A B B B r ( A ) ≤ r ( B ) r(A)\leq r(B) r ( A ) ≤ r ( B ) A ≅ B A\cong B A ≅ B r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r ( A ) = r ( B )
极大无关组的求法 ：列向量组：对矩阵A = ( α 1 , ⋯ , α s ) \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s) A = ( α 1 , ⋯ , α s )
行向量组：对矩阵A = ( α 1 T ⋮ α s T ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1^T\\\vdots\\\boldsymbol{\alpha}_s^T\end{pmatrix} A = α 1 T ⋮ α s T
齐次线性方程组 ** **的解结构 ：解空间：齐次方程组的所有解构成的集合S S S R n \mathbb{R}^n R n
基础解系：解空间S S S ξ 1 , ⋯ , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r} ξ 1 , ⋯ , ξ n − r ξ 1 , ⋯ , ξ n − r \boldsymbol{\xi}_1,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r} ξ 1 , ⋯ , ξ n − r S S S
解空间维数：dim S = n − r ( A ) \dim S=n-r(\boldsymbol{A}) dim S = n − r ( A ) n n n r = r ( A ) r=r(\boldsymbol{A}) r = r ( A )
通解：x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r \boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r} x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r k 1 , ⋯ , k n − r ∈ R k_1,\cdots,k_{n-r}\in\mathbb{R} k 1 , ⋯ , k n − r ∈ R
非齐次线性方程组 ** **的解结构 ：解的性质：设η ∗ \boldsymbol{\eta}^* η ∗ ξ \boldsymbol{\xi} ξ η ∗ + ξ \boldsymbol{\eta}^*+\boldsymbol{\xi} η ∗ + ξ
通解：非齐次方程组的通解 = 对应齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的一个特解，即x = k 1 ξ 1 + ⋯ + k n − r ξ n − r + η ∗ \boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}+\boldsymbol{\eta}^* x = k 1 ξ 1 + ⋯ + k n − r ξ n − r + η ∗ k 1 , ⋯ , k n − r ∈ R k_1,\cdots,k_{n-r}\in\mathbb{R} k 1 , ⋯ , k n − r ∈ R
特解的求法：将增广矩阵化为行最简形，令自由未知数为 0，代入求解得特解；
解的存在性：非齐次方程组有解⇔ r ( A ) = r ( A ‾ ) \Leftrightarrow r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}}) ⇔ r ( A ) = r ( A )
求齐次方程组通解 ：null(A,'r')（输出基础解系的有理形式）；
求非齐次方程组特解 ：A\b（当r ( A ) = r ( A ‾ ) = n r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})=n r ( A ) = r ( A ) = n r < n r<n r < n
行最简形变换 ：rref([A b])（直接读取自由未知数与主未知数的关系，构造通解）。
示例 ：求解A x = b \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} A x = b A = ( 1 2 − 1 2 − 1 3 3 1 2 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&-1&3\\3&1&2\end{pmatrix} A = 1 2 3 2 − 1 1 − 1 3 2 b = ( 0.1 0.5 0.6 ) \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}0.1\\0.5\\0.6\end{pmatrix} b = 0.1 0.5 0.6 A = \[1 2 -1; 2 -1 3; 3 1 2];
b = \[0.1; 0.5; 0.6];
% 求特解
x0 = A \ b;
% 求齐次基础解系
xi = null(A, 'r');
% 输出：x0 = \[0.1; 0; 0]，xi = \[-1; 1; 1]，与手动计算一致
教材定位 ：将 n 维向量抽象为线性空间的元素，建立 “空间结构” 理论，欧氏空间通过内积引入 “长度、夹角”，为后续特征值、二次型提供抽象代数框架，是线性代数的理论核心。
线性空间的定义 ：设V V V R \mathbb{R} R V V V R \mathbb{R} R
线性子空间 ：若W ⊆ V W\subseteq V W ⊆ V W W W V V V W W W V V V R n \mathbb{R}^n R n
基、维数与坐标 ：
基：V V V { α 1 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n\} { α 1 , ⋯ , α n } V V V V V V
维数：基所含向量个数，记为dim V = n \dim V=n dim V = n R n \mathbb{R}^n R n n n n
坐标：设{ α 1 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n\} { α 1 , ⋯ , α n } β = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n \boldsymbol{\beta}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n β = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n ( x 1 , ⋯ , x n ) T (x_1,\cdots,x_n)^T ( x 1 , ⋯ , x n ) T β \boldsymbol{\beta} β
基变换与坐标变换 ：基变换公式：设旧基{ α 1 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n\} { α 1 , ⋯ , α n } { β 1 , ⋯ , β n } \{\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n\} { β 1 , ⋯ , β n } β j = ∑ i = 1 n p i j α i \boldsymbol{\beta}_j=\sum_{i=1}^n p_{ij}\boldsymbol{\alpha}_i β j = ∑ i = 1 n p ij α i B = A P \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} B = A P A = ( α 1 , ⋯ , α n ) \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) A = ( α 1 , ⋯ , α n ) B = ( β 1 , ⋯ , β n ) \boldsymbol{B}=(\boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n) B = ( β 1 , ⋯ , β n ) P \boldsymbol{P} P
坐标变换公式：若β \boldsymbol{\beta} β x , y \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} x , y x = P y \boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y} x = P y y = P − 1 x \boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x} y = P − 1 x
工程应用：基与坐标变换 —— 信号坐标系转换
通信工程 ：信号的正交基转换。某通信信号s = ( 3 , 4 , 5 ) T \boldsymbol{s}=(3,4,5)^T s = ( 3 , 4 , 5 ) T { ε 1 , ε 2 , ε 3 } \{\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\boldsymbol{\varepsilon}_3\} { ε 1 , ε 2 , ε 3 } ( 3 , 4 , 5 ) T (3,4,5)^T ( 3 , 4 , 5 ) T { α 1 = ( 1 , 1 , 1 ) T , α 2 = ( 1 , − 1 , 0 ) T , α 3 = ( 1 , 1 , − 2 ) T } \{\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,-2)^T\} { α 1 = ( 1 , 1 , 1 ) T , α 2 = ( 1 , − 1 , 0 ) T , α 3 = ( 1 , 1 , − 2 ) T } P = ( 1 1 1 1 − 1 1 1 0 − 2 ) \boldsymbol{P}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&0&-2\end{pmatrix} P = 1 1 1 1 − 1 0 1 1 − 2 y = P − 1 x = ( 4 , − 0.5 , − 0.5 ) T \boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}=(4,-0.5,-0.5)^T y = P − 1 x = ( 4 , − 0.5 , − 0.5 ) T y ≈ ( 4 , 0 , 0 ) T \boldsymbol{y}\approx(4,0,0)^T y ≈ ( 4 , 0 , 0 ) T 内积及其基本性质 ：定义：设V V V α , β ∈ V \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V α , β ∈ V ( α , β ) (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}) ( α , β ) ( α , β ) = ( β , α ) (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}) ( α , β ) = ( β , α ) ( k α , β ) = k ( α , β ) (k\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=k(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}) ( k α , β ) = k ( α , β ) ( α + β , γ ) = ( α , γ ) + ( β , γ ) (\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma})=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\gamma})+(\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma}) ( α + β , γ ) = ( α , γ ) + ( β , γ ) ( α , α ) ≥ 0 (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})\geq0 ( α , α ) ≥ 0 ( α , α ) = 0 ⇔ α = 0 (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})=0\Leftrightarrow\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0} ( α , α ) = 0 ⇔ α = 0 ( α , β ) (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}) ( α , β ) V V V
常用内积：R n \mathbb{R}^n R n ( α , β ) = α T β = a 1 b 1 + ⋯ + a n b n (\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{\beta}=a_1b_1+\cdots+a_nb_n ( α , β ) = α T β = a 1 b 1 + ⋯ + a n b n
范数与夹角 ：范数（长度）：∥ α ∥ = ( α , α ) \|\boldsymbol{\alpha}\|=\sqrt{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha})} ∥ α ∥ = ( α , α ) ∥ α + β ∥ ≤ ∥ α ∥ + ∥ β ∥ \|\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\|\leq\|\boldsymbol{\alpha}\|+\|\boldsymbol{\beta}\| ∥ α + β ∥ ≤ ∥ α ∥ + ∥ β ∥
夹角：cos θ = ( α , β ) ∥ α ∥ ∥ β ∥ \cos\theta=\frac{(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})}{\|\boldsymbol{\alpha}\|\|\boldsymbol{\beta}\|} cos θ = ∥ α ∥∥ β ∥ ( α , β ) 0 ≤ θ ≤ π 0\leq\theta\leq\pi 0 ≤ θ ≤ π θ = 90 ∘ \theta=90^\circ θ = 9 0 ∘ α ⊥ β \boldsymbol{\alpha}\perp\boldsymbol{\beta} α ⊥ β
标准正交基 ：定义：基中向量两两正交且均为单位向量（∥ ε i ∥ = 1 \|\boldsymbol{\varepsilon}_i\|=1 ∥ ε i ∥ = 1 ( ε i , ε j ) = 0 (\boldsymbol{\varepsilon}_i,\boldsymbol{\varepsilon}_j)=0 ( ε i , ε j ) = 0 i ≠ j i\neq j i = j
Gram-Schmidt 正交化：将线性无关向量组{ α 1 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n\} { α 1 , ⋯ , α n }
正交化：β 1 = α 1 \boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1 β 1 = α 1 β k = α k − ∑ i = 1 k − 1 ( α k , β i ) ( β i , β i ) β i \boldsymbol{\beta}_k=\boldsymbol{\alpha}_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{\beta}_i)}{(\boldsymbol{\beta}_i,\boldsymbol{\beta}_i)}\boldsymbol{\beta}_i β k = α k − ∑ i = 1 k − 1 ( β i , β i ) ( α k , β i ) β i k ≥ 2 k\geq2 k ≥ 2
单位化：ε k = β k ∥ β k ∥ \boldsymbol{\varepsilon}_k=\frac{\boldsymbol{\beta}_k}{\|\boldsymbol{\beta}_k\|} ε k = ∥ β k ∥ β k
工程应用：正交基与最小二乘法 —— 数据拟合
自动化控制 ：传感器校准。某温度传感器的测量值y y y t t t t = a y + b t=ay+b t = a y + b ( y 1 , t 1 ) = ( 0.1 , 0 ) (y_1,t_1)=(0.1,0) ( y 1 , t 1 ) = ( 0.1 , 0 ) ( 20.2 , 20 ) (20.2,20) ( 20.2 , 20 ) ( 40.1 , 40 ) (40.1,40) ( 40.1 , 40 ) ( 59.8 , 60 ) (59.8,60) ( 59.8 , 60 ) ( 80.3 , 80 ) (80.3,80) ( 80.3 , 80 ) t = ( 0 , 20 , 40 , 60 , 80 ) T \boldsymbol{t}=(0,20,40,60,80)^T t = ( 0 , 20 , 40 , 60 , 80 ) T A = ( 0.1 1 20.2 1 40.1 1 59.8 1 80.3 1 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0.1&1\\20.2&1\\40.1&1\\59.8&1\\80.3&1\end{pmatrix} A = 0.1 20.2 40.1 59.8 80.3 1 1 1 1 1 x = ( A T A ) − 1 A T t ≈ ( 0.999 , 0.02 ) T \boldsymbol{x}=(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{t}\approx(0.999,0.02)^T x = ( A T A ) − 1 A T t ≈ ( 0.999 , 0.02 ) T t = 0.999 y + 0.02 t=0.999y+0.02 t = 0.999 y + 0.02 教材定位 ：揭示矩阵的 “内在特性”，通过特征值与特征向量实现矩阵对角化，简化矩阵幂运算与线性变换，是振动分析、数据降维、系统控制的核心工具。
定义 ：设A \boldsymbol{A} A n n n λ ∈ R \lambda\in\mathbb{R} λ ∈ R ξ \boldsymbol{\xi} ξ A ξ = λ ξ \boldsymbol{A}\boldsymbol{\xi}=\lambda\boldsymbol{\xi} A ξ = λ ξ λ \lambda λ ξ \boldsymbol{\xi} ξ
求解步骤 ：
求特征方程：∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0 ∣ λ E − A ∣ = 0
求特征向量：对每个λ i \lambda_i λ i ( λ i E − A ) x = 0 (\lambda_i\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} ( λ i E − A ) x = 0
性质 ：工程应用：特征值 —— 振动模态分析
机械工程 ：梁的固有频率。某简支梁的刚度矩阵K = ( 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ) \boldsymbol{K}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix} K = 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 M = E \boldsymbol{M}=\boldsymbol{E} M = E M u ¨ + K u = 0 \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0} M u ¨ + K u = 0 u = ϕ sin ( ω t + φ ) \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\phi}\sin(\omega t+\varphi) u = ϕ sin ( ω t + φ ) ( K − ω 2 M ) ϕ = 0 (\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M})\boldsymbol{\phi}=\boldsymbol{0} ( K − ω 2 M ) ϕ = 0 ω 1 2 = 2 − 2 ≈ 0.586 \omega_1^2=2-\sqrt{2}\approx0.586 ω 1 2 = 2 − 2 ≈ 0.586 ω 2 2 = 2 \omega_2^2=2 ω 2 2 = 2 ω 3 2 = 2 + 2 ≈ 3.414 \omega_3^2=2+\sqrt{2}\approx3.414 ω 3 2 = 2 + 2 ≈ 3.414 ω 1 ≈ 0.765 r a d / s \omega_1\approx0.765rad/s ω 1 ≈ 0.765 r a d / s ω 2 ≈ 1.414 r a d / s \omega_2\approx1.414rad/s ω 2 ≈ 1.414 r a d / s ω 3 ≈ 1.847 r a d / s \omega_3\approx1.847rad/s ω 3 ≈ 1.847 r a d / s ω 2 \omega_2 ω 2 相似矩阵 ：若存在可逆矩阵P \boldsymbol{P} P P − 1 A P = B \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B} P − 1 A P = B A ∼ B \boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B} A ∼ B
对角化条件 ：n n n A \boldsymbol{A} A ⇔ A \Leftrightarrow\boldsymbol{A} ⇔ A n n n Q \boldsymbol{Q} Q Q T A Q = Λ \boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda} Q T A Q = Λ Λ \boldsymbol{\Lambda} Λ
工程应用：矩阵对角化 —— 数据降维（PCA）
数据科学 ：用户行为数据降维。某电商平台用户消费数据的协方差矩阵Σ = ( 2 1 0 1 2 1 0 1 2 ) \boldsymbol{\Sigma}=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix} Σ = 2 1 0 1 2 1 0 1 2 Λ = diag ( 0.586 , 2 , 3.414 ) \boldsymbol{\Lambda}=\text{diag}(0.586,2,3.414) Λ = diag ( 0.586 , 2 , 3.414 ) Q \boldsymbol{Q} Q Q \boldsymbol{Q} Q 微分方程组求解 ：某 RLC 电路的微分方程{ i ˙ 1 = − 2 i 1 + i 2 i ˙ 2 = i 1 − 2 i 2 \begin{cases}\dot{i}_1=-2i_1+i_2\\\dot{i}_2=i_1-2i_2\end{cases} { i ˙ 1 = − 2 i 1 + i 2 i ˙ 2 = i 1 − 2 i 2 i ˙ = A i \dot{\boldsymbol{i}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{i} i ˙ = A i A = ( − 2 1 1 − 2 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix} A = ( − 2 1 1 − 2 ) λ 1 = − 1 \lambda_1=-1 λ 1 = − 1 λ 2 = − 3 \lambda_2=-3 λ 2 = − 3 ξ 1 = ( 1 , 1 ) T \boldsymbol{\xi}_1=(1,1)^T ξ 1 = ( 1 , 1 ) T ξ 2 = ( 1 , − 1 ) T \boldsymbol{\xi}_2=(1,-1)^T ξ 2 = ( 1 , − 1 ) T i = C 1 e − t ( 1 , 1 ) T + C 2 e − 3 t ( 1 , − 1 ) T \boldsymbol{i}=C_1e^{-t}(1,1)^T+C_2e^{-3t}(1,-1)^T i = C 1 e − t ( 1 , 1 ) T + C 2 e − 3 t ( 1 , − 1 ) T i ( 0 ) = ( 1 , 0 ) T \boldsymbol{i}(0)=(1,0)^T i ( 0 ) = ( 1 , 0 ) T C 1 = 1 2 C_1=\frac{1}{2} C 1 = 2 1 C 2 = 1 2 C_2=\frac{1}{2} C 2 = 2 1 i ( t ) = 1 2 e − t ( 1 , 1 ) T + 1 2 e − 3 t ( 1 , − 1 ) T \boldsymbol{i}(t)=\frac{1}{2}e^{-t}(1,1)^T+\frac{1}{2}e^{-3t}(1,-1)^T i ( t ) = 2 1 e − t ( 1 , 1 ) T + 2 1 e − 3 t ( 1 , − 1 ) T i 1 ( t ) = 1 2 ( e − t + e − 3 t ) i_1(t)=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{-3t}) i 1 ( t ) = 2 1 ( e − t + e − 3 t ) i 2 ( t ) = 1 2 ( e − t − e − 3 t ) i_2(t)=\frac{1}{2}(e^{-t}-e^{-3t}) i 2 ( t ) = 2 1 ( e − t − e − 3 t ) i 1 ≈ 0.38 A i_1\approx0.38A i 1 ≈ 0.38 A i 2 ≈ 0.21 A i_2\approx0.21A i 2 ≈ 0.21 A
Fibonacci 数列求解 ：Fibonacci 数列满足F n + 2 = F n + 1 + F n F_{n+2}=F_{n+1}+F_n F n + 2 = F n + 1 + F n F 0 = 0 F_0=0 F 0 = 0 F 1 = 1 F_1=1 F 1 = 1 ( F n + 1 F n ) = ( 1 1 1 0 ) ( F n F n − 1 ) \begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_n\\F_{n-1}\end{pmatrix} ( F n + 1 F n ) = ( 1 1 1 0 ) ( F n F n − 1 ) A = ( 1 1 1 0 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} A = ( 1 1 1 0 ) ( F n + 1 F n ) = A n ( 1 0 ) \begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=\boldsymbol{A}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} ( F n + 1 F n ) = A n ( 1 0 ) A \boldsymbol{A} A λ 1 = 1 + 5 2 \lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} λ 1 = 2 1 + 5 λ 2 = 1 − 5 2 \lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} λ 2 = 2 1 − 5 A n = P Λ n P − 1 \boldsymbol{A}^n=\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Lambda}^n\boldsymbol{P}^{-1} A n = P Λ n P − 1 F n = 1 5 ( λ 1 n − λ 2 n ) F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\lambda_1^n-\lambda_2^n) F n = 5 1 ( λ 1 n − λ 2 n ) F 10 = 55 F_{10}=55 F 10 = 55
求特征值与特征向量 ：[V,D] = eig(A)，其中D D D V V V
实对称矩阵正交对角化 ：[Q,D] = schur(A)（Q Q Q D D D
示例 ：计算A = ( 1 1 1 0 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} A = ( 1 1 1 0 ) A = \[1 1; 1 0];
\[V,D] = eig(A);
% 输出：D = diag((1+√5)/2, (1-√5)/2)，V = \[ (1+√5)/2 (1-√5)/2; 1 1 ]
教材定位 ：将二次齐次多项式（二次型）与二次曲面结合，通过矩阵对角化将二次型化为标准形，解决二次曲面分类、工程优化、能量分析等问题，是代数与几何融合的典型章节。
曲面与空间曲线的方程 ：曲面方程：F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F ( x , y , z ) = 0 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) \begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) u , v u,v u , v
空间曲线方程：两曲面的交线{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases} { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t )
柱面、锥面、旋转面 ：柱面：平行于某轴的母线沿准线移动形成，如圆柱面x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 x 2 + y 2 = R 2 y 2 = 2 p x y^2=2px y 2 = 2 p x
锥面：过定点（顶点）的母线沿准线移动形成，如圆锥面z 2 = k 2 ( x 2 + y 2 ) z^2=k^2(x^2+y^2) z 2 = k 2 ( x 2 + y 2 )
旋转面：平面曲线绕某轴旋转形成，如曲线y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) y 2 + z 2 = [ f ( x ) ] 2 y^2+z^2=[f(x)]^2 y 2 + z 2 = [ f ( x ) ] 2
5 种典型二次曲面 ：椭球面：x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1 a , b , c > 0 a,b,c>0 a , b , c > 0
单叶双曲面：x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 − c 2 z 2 = 1
双叶双曲面：x 2 a 2 − y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a 2 x 2 − b 2 y 2 − c 2 z 2 = 1
椭圆抛物面：x 2 2 p + y 2 2 q = z \frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z 2 p x 2 + 2 q y 2 = z p , q > 0 p,q>0 p , q > 0
双曲抛物面：x 2 2 p − y 2 2 q = z \frac{x^2}{2p}-\frac{y^2}{2q}=z 2 p x 2 − 2 q y 2 = z p , q > 0 p,q>0 p , q > 0
工程应用：二次曲面 —— 零件造型与光学设计
汽车工程 ：车灯反光罩（旋转抛物面）。取 x-y 平面的抛物线y = 0.4 x y=\sqrt{0.4x} y = 0.4 x y 2 + z 2 = 0.4 x y^2+z^2=0.4x y 2 + z 2 = 0.4 x ( 0.1 , 0 , 0 ) (0.1,0,0) ( 0.1 , 0 , 0 )
航空航天 ：卫星天线（椭球面）。卫星接收天线采用椭球面结构，方程x 2 2 2 + y 2 2 2 + z 2 1 2 = 1 \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{2^2}+\frac{z^2}{1^2}=1 2 2 x 2 + 2 2 y 2 + 1 2 z 2 = 1
二次型及其矩阵表示 ：定义：n n n f ( x 1 , … , x n ) = ∑ i = 1 n a i i x i 2 + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n a i j x i x j f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_i x_j f ( x 1 , … , x n ) = ∑ i = 1 n a ii x i 2 + 2 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n a ij x i x j f = x T A x f=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} f = x T A x A \boldsymbol{A} A a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} a ij = a ji 二次型的标准形 ：正定二次型 ：工程应用：二次型 —— 能量优化与系统稳定性
机械工程 ：弹簧系统的势能优化。某两自由度弹簧系统的势能f = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 2 2 f=2x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2 f = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 2 2 A = ( 2 1 1 2 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} A = ( 2 1 1 2 ) λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ 1 = 1 λ 2 = 3 \lambda_2=3 λ 2 = 3 x = Q y \boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y} x = Q y f = y 1 2 + 3 y 2 2 f=y_1^2+3y_2^2 f = y 1 2 + 3 y 2 2 y 2 y_2 y 2 y 2 y_2 y 2
电气工程 ：电路功率的正定分析。某电路的功率f = 3 i 1 2 + 2 i 1 i 2 + 2 i 2 2 f=3i_1^2+2i_1i_2+2i_2^2 f = 3 i 1 2 + 2 i 1 i 2 + 2 i 2 2 A \boldsymbol{A} A 3 > 0 3>0 3 > 0 3 × 2 − 1 2 = 5 > 0 3\times2-1^2=5>0 3 × 2 − 1 2 = 5 > 0 f f f
教材定位 ：将线性空间中的 “线性映射” 抽象为线性变换，通过矩阵表示建立线性变换与矩阵的对应关系，是线性代数抽象理论的重要延伸，为后续抽象代数、泛函分析奠定基础。
线性变换的定义 ：设V V V T : V → V T:V\to V T : V → V T ( α + β ) = T ( α ) + T ( β ) T(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=T(\boldsymbol{\alpha})+T(\boldsymbol{\beta}) T ( α + β ) = T ( α ) + T ( β ) T ( k α ) = k T ( α ) T(k\boldsymbol{\alpha})=kT(\boldsymbol{\alpha}) T ( k α ) = k T ( α ) ∀ α , β ∈ V \forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V ∀ α , β ∈ V k ∈ R k\in\mathbb{R} k ∈ R T T T V V V
核与值域 ：
核：ker ( T ) = { α ∈ V ∣ T ( α ) = 0 } \ker(T)=\{\boldsymbol{\alpha}\in V\mid T(\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{0}\} ker ( T ) = { α ∈ V ∣ T ( α ) = 0 } V V V
值域：Im ( T ) = { T ( α ) ∣ α ∈ V } \text{Im}(T)=\{T(\boldsymbol{\alpha})\mid\boldsymbol{\alpha}\in V\} Im ( T ) = { T ( α ) ∣ α ∈ V } V V V
维数公式：dim ker ( T ) + dim Im ( T ) = dim V \dim\ker(T)+\dim\text{Im}(T)=\dim V dim ker ( T ) + dim Im ( T ) = dim V
线性变换的运算 ：加法：( T 1 + T 2 ) ( α ) = T 1 ( α ) + T 2 ( α ) (T_1+T_2)(\boldsymbol{\alpha})=T_1(\boldsymbol{\alpha})+T_2(\boldsymbol{\alpha}) ( T 1 + T 2 ) ( α ) = T 1 ( α ) + T 2 ( α )
数乘：( k T ) ( α ) = k T ( α ) (kT)(\boldsymbol{\alpha})=kT(\boldsymbol{\alpha}) ( k T ) ( α ) = k T ( α )
乘法：( T 1 T 2 ) ( α ) = T 1 ( T 2 ( α ) ) (T_1T_2)(\boldsymbol{\alpha})=T_1(T_2(\boldsymbol{\alpha})) ( T 1 T 2 ) ( α ) = T 1 ( T 2 ( α ))
工程应用：线性变换 —— 信号滤波
通信工程 ：信号的低通滤波。设信号空间V V V R 3 \mathbb{R}^3 R 3 T ( x ) = ( x 1 , 0 , 0 ) T(\boldsymbol{x})=(x_1,0,0) T ( x ) = ( x 1 , 0 , 0 ) x = ( 3 , 2 , 1 ) T \boldsymbol{x}=(3,2,1)^T x = ( 3 , 2 , 1 ) T T ( x ) = ( 3 , 0 , 0 ) T T(\boldsymbol{x})=(3,0,0)^T T ( x ) = ( 3 , 0 , 0 ) T 线性变换的矩阵 ：设V V V { α 1 , … , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n\} { α 1 , … , α n } T T T T ( α j ) = ∑ i = 1 n a i j α i T(\boldsymbol{\alpha}_j)=\sum_{i=1}^n a_{ij}\boldsymbol{\alpha}_i T ( α j ) = ∑ i = 1 n a ij α i A = ( a i j ) \boldsymbol{A}=(a_{ij}) A = ( a ij ) T T T
坐标变换关系 ：若α \boldsymbol{\alpha} α x \boldsymbol{x} x T ( α ) T(\boldsymbol{\alpha}) T ( α ) y \boldsymbol{y} y y = A x \boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x} y = A x
不同基下矩阵的关系 ：设T T T A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B P \boldsymbol{P} P B = P − 1 A P \boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P} B = P − 1 A P
工程应用：线性变换矩阵 —— 图像旋转
计算机视觉 ：图像的 90° 旋转。设图像像素坐标空间V V V { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } \{(1,0),(0,1)\} {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )} T T T A = ( 0 − 1 1 0 ) \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} A = ( 0 1 − 1 0 ) ( 2 , 3 ) (2,3) ( 2 , 3 ) y = A ( 2 3 ) = ( − 3 2 ) \boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix} y = A ( 2 3 ) = ( − 3 2 ) 系统整理全书常用符号：如A m × n \boldsymbol{A}_{m\times n} A m × n m × n m\times n m × n α T \boldsymbol{\alpha}^T α T r ( A ) r(\boldsymbol{A}) r ( A ) dim V \dim V dim V T : V → V T:V\to V T : V → V 重视基础概念 ：吃透行列式、矩阵、线性相关性、特征值等核心概念，避免死记公式；
结合工程实例 ：通过电路、机械、通信等领域的应用，理解知识点的实际价值；
善用软件工具 ：用 MATLAB 验证计算结果（如矩阵求逆、特征值求解），提高效率；
多做综合习题 ：通过线性方程组与线性空间、二次型与二次曲面的综合题，构建知识体系。
本书作为理工科核心教材，其知识点是后续专业课程（如自动控制原理、信号与系统、有限元分析）的数学基础，掌握 “代数抽象 + 几何直观 + 工程应用” 的思维模式，才能真正发挥线性代数与解析几何的工具价值。
本书核心定位是 “以工程需求为导向，构建复变函数的理论体系与应用工具”，通过复数运算、解析函数、积分变换等知识，解决工程中 “动态系统分析”“信号处理”“电磁场计算” 等复杂问题，是电气、自动化、通信、机械等专业的核心数学课程。以下按章节顺序梳理核心内容，确保理论与工程实践紧密衔接。
工程数学：复变函数与积分变换（第四版）
├── 复变函数
│ ├── 复数与复变函数
│ │ ├── 复数及其代数运算
│ │ │ ├── 复数的概念
│ │ │ └── 复数的代数运算
│ │ ├── 复数的几何表示
│ │ │ ├── 复平面
│ │ │ └── 复球面
│ │ ├── 复数的乘幂与方根
│ │ │ ├── 乘积与商
│ │ │ └── 幂与根
│ │ ├── 区域
│ │ │ ├── 区域的概念
│ │ │ └── 单连通域与多连通域
│ │ ├── 复变函数
│ │ │ ├── 复变函数的定义
│ │ │ └── 映射的概念
│ │ └── 复变函数的极限和连续性
│ │ ├── 函数的极限
│ │ └── 函数的连续性
│ ├── 解析函数
│ │ ├── 解析函数的概念
│ │ ├── 函数解析的充要条件
│ │ ├── 初等函数
│ │ └── 平面场的复势
│ ├── 复变函数的积分
│ │ ├── 复变函数积分的概念
│ │ ├── 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
│ │ ├── 基本定理的推广----复合闭路定理
│ │ ├── 原函数与不定积分
│ │ ├── 柯西积分公式
│ │ ├── 解析函数的高阶导数
│ │ └── 解析函数与调和函数的关系
│ ├── 级数
│ │ ├── 复数项级数
│ │ ├── 幂级数
│ │ ├── 泰勒级数
│ │ └── 洛朗级数
│ ├── 留数
│ │ ├── 孤立奇点
│ │ ├── 留数
│ │ ├── 留数在定积分计算上的应用
│ │ └── 对数留数与辐角原理
│ ├── 共形映射
│ │ ├── 共形映射的概念
│ │ ├── 分式线性映射
│ │ ├── 唯一决定分式线性映射的条件
│ │ ├── 几个初等函数所构成的映射
│ │ ├── 关于共形映射的几个一般性定理
│ │ ├── 施瓦茨-克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)映射
│ │ └── 拉普拉斯方程的边值问题
│ ├── 附录Ⅰ 参考书目
│ └── 附录Ⅱ 区域的变换表
└── 积分变换
├── Fourier变换（傅里叶变换）
│ ├── Fourier积分
│ ├── Fourier变换
│ │ ├── Fourier变换的概念
│ │ ├── 单位脉冲函数及其Fourier变换
│ │ └── 非周期函数的频谱
│ ├── Fourier变换的性质
│ │ ├── 线性性质
│ │ ├── 位移性质
│ │ ├── 微分性质
│ │ ├── 积分性质
│ │ ├── 乘积定理
│ │ └── 能量积分
│ ├── 卷积与相关函数
│ │ ├── 卷积定理
│ │ └── 相关函数
│ ├── 多重Fourier变换
│ │ ├── 多重Fourier变换的概念
│ │ └── 多重Fourier变换的性质
│ └── Fourier变换的应用
│ ├── 微分、积分方程的Fourier变换解法
│ └── 偏微分方程的Fourier变换解法
├── Laplace变换
│ ├── Laplace变换的概念
│ │ ├── 问题的提出
│ │ └── Laplace变换的存在定理
│ ├── Laplace变换的性质
│ │ ├── 线性性质
│ │ ├── 微分性质
│ │ ├── 积分性质
│ │ ├── 位移性质
│ │ ├── 延迟性质
│ │ └── 初值定理与终值定理
│ ├── 卷积
│ │ ├── 卷积的概念
│ │ └── 卷积定理
│ ├── Laplace逆变换
│ └── Laplace变换的应用
│ ├── 微分、积分方程的Laplace变换解法
│ ├── 偏微分方程的Laplace变换解法
│ └── 线性系统的传递函数
├── 附录Ⅰ Fourier变换简表
└── 附录Ⅱ Laplace变换简表
教材定位 ：作为复变函数的入门章节，建立复数的运算体系与几何表示，定义复变函数的基本概念，为后续解析函数、复积分的学习奠定基础，同时直接应用于工程中 “相位分析”“阻抗计算” 等简单问题。
复数的定义 ：设x , y x,y x , y z = x + i y z=x+iy z = x + i y i i i i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 x = Re ( z ) x=\text{Re}(z) x = Re ( z ) y = Im ( z ) y=\text{Im}(z) y = Im ( z ) y = 0 y=0 y = 0 z = x z=x z = x x = 0 x=0 x = 0 y ≠ 0 y\neq0 y = 0 z = i y z=iy z = i y
复数的代数运算 ：
相等：z 1 = x 1 + i y 1 = z 2 = x 2 + i y 2 ⇔ x 1 = x 2 z_1=x_1+iy_1=z_2=x_2+iy_2\Leftrightarrow x_1=x_2 z 1 = x 1 + i y 1 = z 2 = x 2 + i y 2 ⇔ x 1 = x 2 y 1 = y 2 y_1=y_2 y 1 = y 2
加法：z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + y 2 ) z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + y 2 )
乘法：z 1 z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1) z 1 z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )
除法：若z 2 ≠ 0 z_2\neq0 z 2 = 0 z 1 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} z 2 z 1 = x 2 2 + y 2 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + i x 2 2 + y 2 2 x 2 y 1 − x 1 y 2 z 2 z_2 z 2 z 2 ‾ = x 2 − i y 2 \overline{z_2}=x_2-iy_2 z 2 = x 2 − i y 2
共轭复数 ：z ‾ = x − i y \overline{z}=x-iy z = x − i y z z z z 1 ± z 2 ‾ = z 1 ‾ ± z 2 ‾ \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2} z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 z 1 z 2 ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2} z 1 z 2 = z 1 z 2 ( z 1 z 2 ) ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} ( z 2 z 1 ) = z 2 z 1 z z ‾ = x 2 + y 2 = ∣ z ∣ 2 z\overline{z}=x^2+y^2=|z|^2 z z = x 2 + y 2 = ∣ z ∣ 2 ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ 工程应用：复数运算 —— 电路阻抗计算
电气工程 ：RLC 串联电路的阻抗合成。某 RLC 电路中，电阻阻抗Z R = R = 5 Ω Z_R=R=5\Omega Z R = R = 5Ω Z L = i ω L = i × 100 π × 0.01 = i π ≈ i 3.14 Ω Z_L=i\omega L=i\times100\pi\times0.01=i\pi\approx i3.14\Omega Z L = iω L = i × 100 π × 0.01 = iπ ≈ i 3.14Ω ω \omega ω Z C = 1 i ω C = − i ω C = − i 100 π × 10 − 4 ≈ − i 31.83 Ω Z_C=\frac{1}{i\omega C}=\frac{-i}{\omega C}=\frac{-i}{100\pi\times10^{-4}}\approx-i31.83\Omega Z C = iω C 1 = ω C − i = 100 π × 1 0 − 4 − i ≈ − i 31.83Ω Z = Z R + Z L + Z C = 5 + i ( 3.14 − 31.83 ) = 5 − i 28.69 Ω Z=Z_R+Z_L+Z_C=5+i(3.14-31.83)=5-i28.69\Omega Z = Z R + Z L + Z C = 5 + i ( 3.14 − 31.83 ) = 5 − i 28.69Ω ∣ Z ∣ = 5 2 + ( − 28.69 ) 2 ≈ 29.11 Ω |Z|=\sqrt{5^2+(-28.69)^2}\approx29.11\Omega ∣ Z ∣ = 5 2 + ( − 28.69 ) 2 ≈ 29.11Ω I = U ∣ Z ∣ I=\frac{U}{|Z|} I = ∣ Z ∣ U U = 220 V U=220V U = 220 V I ≈ 7.56 A I\approx7.56A I ≈ 7.56 A 复平面与点表示 ：以实轴（x 轴）、虚轴（y 轴）构成复平面，复数z = x + i y z=x+iy z = x + i y ( x , y ) (x,y) ( x , y ) O P → = ( x , y ) \overrightarrow{OP}=(x,y) OP = ( x , y ) P P P ( x , y ) (x,y) ( x , y )
复数的模与辐角 ：
模：∣ z ∣ = x 2 + y 2 |z|=\sqrt{x^2+y^2} ∣ z ∣ = x 2 + y 2 O P → \overrightarrow{OP} OP ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ |z_1z_2|=|z_1||z_2| ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣∣ z 2 ∣ ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|} z 2 z 1 = ∣ z 2 ∣ ∣ z 1 ∣ ∣ ∣ z 1 ∣ − ∣ z 2 ∣ ∣ ≤ ∣ z 1 ± z 2 ∣ ≤ ∣ z 1 ∣ + ∣ z 2 ∣ ||z_1|-|z_2||\leq|z_1\pm z_2|\leq|z_1|+|z_2| ∣∣ z 1 ∣ − ∣ z 2 ∣∣ ≤ ∣ z 1 ± z 2 ∣ ≤ ∣ z 1 ∣ + ∣ z 2 ∣
辐角：当z ≠ 0 z\neq0 z = 0 θ = arg ( z ) \theta=\arg(z) θ = arg ( z ) z z z tan θ = y x \tan\theta=\frac{y}{x} tan θ = x y Arg ( z ) ∈ ( − π , π ] \text{Arg}(z)\in(-\pi,\pi] Arg ( z ) ∈ ( − π , π ] [ 0 , 2 π ) [0,2\pi) [ 0 , 2 π ) arg ( z ) = Arg ( z ) + 2 k π \arg(z)=\text{Arg}(z)+2k\pi arg ( z ) = Arg ( z ) + 2 kπ k k k
复数的三角形式与指数形式 ：三角形式：z = ∣ z ∣ ( cos θ + i sin θ ) z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta) z = ∣ z ∣ ( cos θ + i sin θ ) θ = arg ( z ) \theta=\arg(z) θ = arg ( z )
指数形式（欧拉公式）：z = ∣ z ∣ e i θ z=|z|e^{i\theta} z = ∣ z ∣ e i θ e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ z 1 z 2 = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ e i ( θ 1 + θ 2 ) z_1z_2=|z_1||z_2|e^{i(\theta_1+\theta_2)} z 1 z 2 = ∣ z 1 ∣∣ z 2 ∣ e i ( θ 1 + θ 2 ) z n = ∣ z ∣ n e i n θ z^n=|z|^n e^{in\theta} z n = ∣ z ∣ n e in θ
工程应用：复数几何表示 —— 信号相位分析
通信工程 ：正弦信号的相位与幅度表示。某载波信号为u ( t ) = U 0 cos ( ω t + φ ) u(t)=U_0\cos(\omega t+\varphi) u ( t ) = U 0 cos ( ω t + φ ) U = U 0 e i φ U=U_0e^{i\varphi} U = U 0 e i φ ∣ U ∣ = U 0 |U|=U_0 ∣ U ∣ = U 0 arg ( U ) = φ \arg(U)=\varphi arg ( U ) = φ 1.5 U 0 1.5U_0 1.5 U 0 π 4 \frac{\pi}{4} 4 π U ′ = 1.5 U 0 e i ( φ − π 4 ) U'=1.5U_0e^{i(\varphi-\frac{\pi}{4})} U ′ = 1.5 U 0 e i ( φ − 4 π ) u ′ ( t ) = 1.5 U 0 cos ( ω t + φ − π 4 ) u'(t)=1.5U_0\cos\left(\omega t+\varphi-\frac{\pi}{4}\right) u ′ ( t ) = 1.5 U 0 cos ( ω t + φ − 4 π ) π 8 \frac{\pi}{8} 8 π 复变函数的定义 ：设G G G z = x + i y ∈ G z=x+iy\in G z = x + i y ∈ G w = u + i v w=u+iv w = u + i v w w w z z z w = f ( z ) w=f(z) w = f ( z ) u = u ( x , y ) u=u(x,y) u = u ( x , y ) v = v ( x , y ) v=v(x,y) v = v ( x , y ) f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f ( z ) = z 2 = ( x 2 − y 2 ) + i 2 x y f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i2xy f ( z ) = z 2 = ( x 2 − y 2 ) + i 2 x y u = x 2 − y 2 u=x^2-y^2 u = x 2 − y 2 v = 2 x y v=2xy v = 2 x y
极限与连续性 ：
极限：若对任意ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ ∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z)-A|<\varepsilon ∣ f ( z ) − A ∣ < ε lim z → z 0 f ( z ) = A \lim_{z\to z_0}f(z)=A lim z → z 0 f ( z ) = A u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y )
连续性：若lim z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) \lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) lim z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 G G G f ( z ) f(z) f ( z ) G G G
工程应用：复变函数 —— 电磁场的复势表示
电气工程 ：静电场的复势。某平行板电容器的静电场中，电场强度E = ( E 0 , 0 ) \boldsymbol{E}=(E_0,0) E = ( E 0 , 0 ) φ ( x , y ) = − E 0 x \varphi(x,y)=-E_0x φ ( x , y ) = − E 0 x ψ ( x , y ) = − E 0 y \psi(x,y)=-E_0y ψ ( x , y ) = − E 0 y w = f ( z ) = φ ( x , y ) + i ψ ( x , y ) = − E 0 ( x + i y ) = − E 0 z w=f(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y)=-E_0(x+iy)=-E_0z w = f ( z ) = φ ( x , y ) + i ψ ( x , y ) = − E 0 ( x + i y ) = − E 0 z φ ( x , y ) = C \varphi(x,y)=C φ ( x , y ) = C ψ ( x , y ) = C \psi(x,y)=C ψ ( x , y ) = C 教材定位 ：解析函数是复变函数的核心概念，其 “可导性” 与 “柯西 - 黎曼条件” 建立了实部与虚部的关联，对应工程中 “无旋场”“无散场” 的物理特性，广泛应用于电磁场、流体力学、信号处理等领域。
导数的定义 ：设f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z \lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} lim Δ z → 0 Δ z f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) f ′ ( z 0 ) f'(z_0) f ′ ( z 0 ) f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 G G G f ( z ) f(z) f ( z ) G G G
导数的运算法则 ：与实函数导数类似，如( f ( z ) ± g ( z ) ) ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) (f(z)\pm g(z))'=f'(z)\pm g'(z) ( f ( z ) ± g ( z ) ) ′ = f ′ ( z ) ± g ′ ( z ) ( f ( z ) g ( z ) ) ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) (f(z)g(z))'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z) ( f ( z ) g ( z ) ) ′ = f ′ ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′ ( z ) ( f ( z ) g ( z ) ) ′ = f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g 2 ( z ) \left(\frac{f(z)}{g(z)}\right)'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} ( g ( z ) f ( z ) ) ′ = g 2 ( z ) f ′ ( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) g ( z ) ≠ 0 g(z)\neq0 g ( z ) = 0 ( f ( g ( z ) ) ) ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) (f(g(z)))'=f'(w)g'(z) ( f ( g ( z )) ) ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) w = g ( z ) w=g(z) w = g ( z )
微分的定义 ：若f ( z ) f(z) f ( z ) z z z Δ f ( z ) = f ( z + Δ z ) − f ( z ) = f ′ ( z ) Δ z + o ( Δ z ) \Delta f(z)=f(z+\Delta z)-f(z)=f'(z)\Delta z+o(\Delta z) Δ f ( z ) = f ( z + Δ z ) − f ( z ) = f ′ ( z ) Δ z + o ( Δ z ) d f ( z ) = f ′ ( z ) Δ z df(z)=f'(z)\Delta z df ( z ) = f ′ ( z ) Δ z d f ( z ) = f ′ ( z ) d z df(z)=f'(z)dz df ( z ) = f ′ ( z ) d z d z = Δ z dz=\Delta z d z = Δ z
工程应用：导数的几何意义 —— 映射的伸缩与旋转
机械工程 ：模具的曲面映射设计。某零件的平面轮廓经复变函数w = z 2 w=z^2 w = z 2 f ′ ( z ) = 2 z f'(z)=2z f ′ ( z ) = 2 z z = 1 + i z=1+i z = 1 + i f ′ ( 1 + i ) = 2 ( 1 + i ) = 2 2 e i π 4 f'(1+i)=2(1+i)=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} f ′ ( 1 + i ) = 2 ( 1 + i ) = 2 2 e i 4 π ∣ f ′ ( z ) ∣ = 2 2 |f'(z)|=2\sqrt{2} ∣ f ′ ( z ) ∣ = 2 2 2 2 2\sqrt{2} 2 2 arg ( f ′ ( z ) ) = π 4 \arg(f'(z))=\frac{\pi}{4} arg ( f ′ ( z )) = 4 π 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 解析函数的定义 ：若f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 G G G f ( z ) f(z) f ( z ) G G G
奇点 ：若f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 z 0 z_0 z 0 z 0 z_0 z 0 f ( z ) f(z) f ( z ) f ( z ) = 1 z f(z)=\frac{1}{z} f ( z ) = z 1 z = 0 z=0 z = 0
柯西 - 黎曼条件（C-R 条件） ：f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) G G G
u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y ) G G G
满足柯西 - 黎曼方程：∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} ∂ x ∂ u = ∂ y ∂ v ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} ∂ y ∂ u = − ∂ x ∂ v
导数公式：f ′ ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = ∂ v ∂ y − i ∂ u ∂ y f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y} f ′ ( z ) = ∂ x ∂ u + i ∂ x ∂ v = ∂ y ∂ v − i ∂ y ∂ u
指数函数 ：e z = e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y) e z = e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) 解析性：在复平面内处处解析，导数( e z ) ′ = e z (e^z)'=e^z ( e z ) ′ = e z
周期性：以2 π i 2\pi i 2 πi e z + 2 k π i = e z e^{z+2k\pi i}=e^z e z + 2 kπi = e z k k k
工程意义：对应正弦信号的复表示（e i ω t = cos ω t + i sin ω t e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t e iω t = cos ω t + i sin ω t
三角函数 ：正弦函数：sin z = e i z − e − i z 2 i \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} sin z = 2 i e i z − e − i z cos z = e i z + e − i z 2 \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} cos z = 2 e i z + e − i z
解析性：在复平面内处处解析，导数( sin z ) ′ = cos z (\sin z)'=\cos z ( sin z ) ′ = cos z ( cos z ) ′ = − sin z (\cos z)'=-\sin z ( cos z ) ′ = − sin z
与实三角函数的区别：复三角函数无界（如∣ sin i y ∣ = sinh y |\sin iy|=\sinh y ∣ sin i y ∣ = sinh y y → ∞ y\to\infty y → ∞ sinh y → ∞ \sinh y\to\infty sinh y → ∞
对数函数 ：L n z = ln ∣ z ∣ + i ( Arg ( z ) + 2 k π ) Ln z=\ln|z|+i(\text{Arg}(z)+2k\pi) L n z = ln ∣ z ∣ + i ( Arg ( z ) + 2 kπ ) k k k 解析性：在除去负实轴和原点的复平面内解析，导数( L n z ) ′ = 1 z (Ln z)'=\frac{1}{z} ( L n z ) ′ = z 1
多值性：由辐角的多值性导致，主值ln z = ln ∣ z ∣ + i Arg ( z ) \ln z=\ln|z|+i\text{Arg}(z) ln z = ln ∣ z ∣ + i Arg ( z ) Arg ( z ) ∈ ( − π , π ] \text{Arg}(z)\in(-\pi,\pi] Arg ( z ) ∈ ( − π , π ]
工程意义：用于求解复数的幂次与根（如z a = e a Ln z z^a=e^{a\text{Ln} z} z a = e a Ln z
幂函数与根式函数 ：幂函数：对任意复数a a a z a = e a Ln z z^a=e^{a\text{Ln} z} z a = e a Ln z a a a z a z^a z a a a a z a z^a z a z 1 / 2 = ± ∣ z ∣ e i Arg ( z ) / 2 z^{1/2}=\pm\sqrt{|z|}e^{i\text{Arg}(z)/2} z 1/2 = ± ∣ z ∣ e i Arg ( z ) /2
解析性：在除去负实轴和原点的复平面内解析，导数( z a ) ′ = a z a − 1 (z^a)'=a z^{a-1} ( z a ) ′ = a z a − 1
根式函数：z 1 / n z^{1/n} z 1/ n n n n z n = w z^n=w z n = w n n n
工程应用：幂函数 —— 天线辐射场的相位计算
通信工程 ：偶极子天线的辐射场相位。某偶极子天线的辐射场复振幅为E ( z ) = k z − 1 / 2 e i k z E(z)=k z^{-1/2}e^{ikz} E ( z ) = k z − 1/2 e ik z k k k z z z z − 1 / 2 z^{-1/2} z − 1/2 z = 10 m z=10m z = 10 m k = 2 π / λ k=2\pi/\lambda k = 2 π / λ λ = 0.5 m \lambda=0.5m λ = 0.5 m k = 4 π r a d / m k=4\pi rad/m k = 4 π r a d / m E ( 10 ) = k × 10 − 1 / 2 e i 4 π × 10 = k × 0.316 e i 40 π E(10)=k\times10^{-1/2}e^{i4\pi\times10}=k\times0.316e^{i40\pi} E ( 10 ) = k × 1 0 − 1/2 e i 4 π × 10 = k × 0.316 e i 40 π arg ( E ( 10 ) ) = 40 π \arg(E(10))=40\pi arg ( E ( 10 )) = 40 π 0 0 0 2 π 2\pi 2 π π / 10 \pi/10 π /10 多值函数的分支与分支割线 ：分支：将多值函数的定义域划分为若干个单值区域，每个区域对应一个单值函数，称为多值函数的一个分支（如Ln z \text{Ln} z Ln z ln z \ln z ln z Arg ( z ) ∈ ( − π , π ] \text{Arg}(z)\in(-\pi,\pi] Arg ( z ) ∈ ( − π , π ]
分支割线：用于分隔不同分支的曲线，通常取负实轴或正实轴（如Ln z \text{Ln} z Ln z
黎曼面 ：通过构造黎曼面（将多个复平面 “粘连” 起来），使多值函数在黎曼面上成为单值函数，从几何角度解决多值性问题，工程中常用于复杂电磁场的多区域分析（如多介质分界面的电场分布）。教材定位 ：复变函数的积分是连接解析函数与级数、留数的核心工具，柯西积分定理与柯西积分公式揭示了解析函数的内在性质，为工程中 “场量的环路积分”“信号的积分变换” 提供数学基础，是复变函数应用的关键章节。
积分的定义 ：设C C C z 0 z_0 z 0 z 1 z_1 z 1 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) C C C C C C n n n z 0 , z 1 , … , z n z_0,z_1,\dots,z_n z 0 , z 1 , … , z n z k − 1 z k z_{k-1}z_k z k − 1 z k ζ k \zeta_k ζ k ∫ C f ( z ) d z = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ζ k ) ( z k − z k − 1 ) \int_C f(z)dz=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(\zeta_k)(z_k-z_{k-1}) ∫ C f ( z ) d z = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ζ k ) ( z k − z k − 1 )
积分的计算 ：将复积分转化为实积分，即∫ C f ( z ) d z = ∫ C u ( x , y ) d x − v ( x , y ) d y + i ∫ C v ( x , y ) d x + u ( x , y ) d y \int_C f(z)dz=\int_C u(x,y)dx-v(x,y)dy+i\int_C v(x,y)dx+u(x,y)dy ∫ C f ( z ) d z = ∫ C u ( x , y ) d x − v ( x , y ) d y + i ∫ C v ( x , y ) d x + u ( x , y ) d y C C C z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) z(t)=x(t)+iy(t) z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t ∈ [ α , β ] ∫ C f ( z ) d z = ∫ α β f ( z ( t ) ) z ′ ( t ) d t \int_C f(z)dz=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)dt ∫ C f ( z ) d z = ∫ α β f ( z ( t )) z ′ ( t ) d t
积分的性质 ：
线性性：∫ C [ a f ( z ) + b g ( z ) ] d z = a ∫ C f ( z ) d z + b ∫ C g ( z ) d z \int_C [a f(z)+b g(z)]dz=a\int_C f(z)dz+b\int_C g(z)dz ∫ C [ a f ( z ) + b g ( z )] d z = a ∫ C f ( z ) d z + b ∫ C g ( z ) d z a , b a,b a , b
路径可加性：∫ C f ( z ) d z = ∫ C 1 f ( z ) d z + ∫ C 2 f ( z ) d z \int_C f(z)dz=\int_{C_1} f(z)dz+\int_{C_2} f(z)dz ∫ C f ( z ) d z = ∫ C 1 f ( z ) d z + ∫ C 2 f ( z ) d z C = C 1 + C 2 C=C_1+C_2 C = C 1 + C 2 C 1 C_1 C 1 C 2 C_2 C 2
方向性：∫ C − f ( z ) d z = − ∫ C f ( z ) d z \int_{C^-} f(z)dz=-\int_C f(z)dz ∫ C − f ( z ) d z = − ∫ C f ( z ) d z C − C^- C − C C C
模估计：∣ ∫ C f ( z ) d z ∣ ≤ ∫ C ∣ f ( z ) ∣ ∣ d z ∣ ≤ M L \left|\int_C f(z)dz\right|\leq\int_C |f(z)| |dz|\leq M L ∫ C f ( z ) d z ≤ ∫ C ∣ f ( z ) ∣∣ d z ∣ ≤ M L M M M ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣ f ( z ) ∣ C C C L L L C C C
柯西积分定理（单连通区域） ：设f ( z ) f(z) f ( z ) D D D C C C D D D ∮ C f ( z ) d z = 0 \oint_C f(z)dz=0 ∮ C f ( z ) d z = 0 推论：在单连通区域D D D f ( z ) f(z) f ( z ) ∫ z 0 z 1 f ( z ) d z \int_{z_0}^{z_1} f(z)dz ∫ z 0 z 1 f ( z ) d z z 0 , z 1 ∈ D z_0,z_1\in D z 0 , z 1 ∈ D D D D z 0 z_0 z 0 z 1 z_1 z 1 柯西积分定理（多连通区域） ：设f ( z ) f(z) f ( z ) D D D C 0 C_0 C 0 C 1 , C 2 , … , C n C_1,C_2,\dots,C_n C 1 , C 2 , … , C n D ‾ \overline{D} D ∮ C 0 f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z \oint_{C_0} f(z)dz=\sum_{k=1}^n \oint_{C_k} f(z)dz ∮ C 0 f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∮ C k f ( z ) d z 工程意义：多连通区域的积分可转化为多个单连通区域的积分，用于计算含有孔洞的场域（如带孔导体的电场积分、含障碍物的流体速度环量）。 柯西积分公式（单连通区域） ：设f ( z ) f(z) f ( z ) D D D C C C D D D z 0 z_0 z 0 I n t ( C ) ‾ ⊂ D \overline{Int(C)}\subset D I n t ( C ) ⊂ D I n t ( C ) Int(C) I n t ( C ) C C C f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz f ( z 0 ) = 2 πi 1 ∮ C z − z 0 f ( z ) d z 意义：解析函数在区域内任意一点的值，可由该函数在区域边界上的值通过积分确定，体现了解析函数的 “整体性”（边界值决定内部值）。 高阶导数公式 ：设f ( z ) f(z) f ( z ) D D D C C C D D D z 0 z_0 z 0 I n t ( C ) ‾ ⊂ D \overline{Int(C)}\subset D I n t ( C ) ⊂ D f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 n n n f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz f ( n ) ( z 0 ) = 2 πi n ! ∮ C ( z − z 0 ) n + 1 f ( z ) d z n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , … 推论：解析函数的任意阶导数均存在且解析，这是复变函数与实变函数的本质区别（实函数可导但二阶导数不一定存在）。 调和函数的定义 ：设二元实函数u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) D D D ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 ∂ x 2 ∂ 2 u + ∂ y 2 ∂ 2 u = 0 u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) D D D
解析函数与调和函数的关系 ：若f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) D D D u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y ) D D D v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y ) u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) D D D v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y ) f ( z ) = u + i v f(z)=u+iv f ( z ) = u + i v D D D
共轭调和函数的求法 ：由 C-R 条件∂ v ∂ x = − ∂ u ∂ y \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} ∂ x ∂ v = − ∂ y ∂ u ∂ v ∂ y = ∂ u ∂ x \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} ∂ y ∂ v = ∂ x ∂ u v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y ) v ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) − ∂ u ∂ y d x + ∂ u ∂ x d y + C v(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} -\frac{\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy + C v ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) − ∂ y ∂ u d x + ∂ x ∂ u d y + C C C C
工程应用：调和函数 —— 流体速度势与流函数
机械工程 ：理想流体的平面流动。某理想流体的平面流动中，速度势函数φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ ( x , y ) ∇ 2 φ = 0 \nabla^2\varphi=0 ∇ 2 φ = 0 ψ ( x , y ) \psi(x,y) ψ ( x , y ) f ( z ) = φ ( x , y ) + i ψ ( x , y ) f(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y) f ( z ) = φ ( x , y ) + i ψ ( x , y ) v x = ∂ φ ∂ x = ∂ ψ ∂ y v_x=\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y} v x = ∂ x ∂ φ = ∂ y ∂ ψ v y = ∂ φ ∂ y = − ∂ ψ ∂ x v_y=\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x} v y = ∂ y ∂ φ = − ∂ x ∂ ψ φ = a x + b y \varphi=ax+by φ = a x + b y a , b a,b a , b ψ = b x − a y \psi=bx-ay ψ = b x − a y f ( z ) = ( a + i b ) z f(z)=(a+ib)z f ( z ) = ( a + ib ) z v = ( a , b ) \boldsymbol{v}=(a,b) v = ( a , b ) 教材定位 ：幂级数是解析函数的重要表示形式，将解析函数转化为级数形式可简化运算（如微分、积分），同时为后续留数、傅里叶变换提供理论基础，工程中常用于信号的级数展开、电磁场的近似计算。
复数项级数 ：定义：设{ z n } = x n + i y n \{z_n\}=x_n+iy_n { z n } = x n + i y n ∑ n = 1 ∞ z n = z 1 + z 2 + ⋯ + z n + ⋯ \sum_{n=1}^\infty z_n=z_1+z_2+\cdots+z_n+\cdots ∑ n = 1 ∞ z n = z 1 + z 2 + ⋯ + z n + ⋯
收敛性：若部分和S N = ∑ n = 1 N z n S_N=\sum_{n=1}^N z_n S N = ∑ n = 1 N z n lim N → ∞ S N = S \lim_{N\to\infty}S_N=S lim N → ∞ S N = S
收敛充要条件：实部级数∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty x_n ∑ n = 1 ∞ x n ∑ n = 1 ∞ y n \sum_{n=1}^\infty y_n ∑ n = 1 ∞ y n
绝对收敛：若∑ n = 1 ∞ ∣ z n ∣ \sum_{n=1}^\infty |z_n| ∑ n = 1 ∞ ∣ z n ∣ ∑ n = 1 ∞ z n \sum_{n=1}^\infty z_n ∑ n = 1 ∞ z n
幂级数 ：定义：形如∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n = c 0 + c 1 ( z − z 0 ) + c 2 ( z − z 0 ) 2 + ⋯ \sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n=c_0+c_1(z-z_0)+c_2(z-z_0)^2+\cdots ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n = c 0 + c 1 ( z − z 0 ) + c 2 ( z − z 0 ) 2 + ⋯ c n c_n c n z 0 z_0 z 0
收敛圆与收敛半径：存在正数R R R ∣ z − z 0 ∣ < R |z-z_0|<R ∣ z − z 0 ∣ < R ∣ z − z 0 ∣ > R |z-z_0|>R ∣ z − z 0 ∣ > R ∣ z − z 0 ∣ = R |z-z_0|=R ∣ z − z 0 ∣ = R R R R
收敛半径求法：
比值法：若lim n → ∞ ∣ c n + 1 c n ∣ = λ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lambda lim n → ∞ c n c n + 1 = λ R = 1 λ R=\frac{1}{\lambda} R = λ 1 λ = 0 \lambda=0 λ = 0 R = ∞ R=\infty R = ∞ λ = ∞ \lambda=\infty λ = ∞ R = 0 R=0 R = 0
根值法：若lim n → ∞ ∣ c n ∣ n = λ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\lambda lim n → ∞ n ∣ c n ∣ = λ R = 1 λ R=\frac{1}{\lambda} R = λ 1
工程应用：幂级数收敛半径 —— 信号的带宽分析
通信工程 ：基带信号的级数展开与带宽。某基带信号的复振幅可表示为幂级数f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} z^n f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ n ! 1 z n z z z lim n → ∞ ∣ c n + 1 c n ∣ = lim n → ∞ 1 n + 1 = 0 \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0 lim n → ∞ c n c n + 1 = lim n → ∞ n + 1 1 = 0 R = ∞ R=\infty R = ∞ N N N N = 10 N=10 N = 10 ∣ z ∣ ≤ 10 |z|\leq 10 ∣ z ∣ ≤ 10 泰勒定理 ：设f ( z ) f(z) f ( z ) D D D z 0 ∈ D z_0\in D z 0 ∈ D R R R z 0 z_0 z 0 D D D ∣ z − z 0 ∣ < R |z-z_0|<R ∣ z − z 0 ∣ < R f ( z ) f(z) f ( z ) f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ n ! f ( n ) ( z 0 ) ( z − z 0 ) n c n = f ( n ) ( z 0 ) n ! c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} c n = n ! f ( n ) ( z 0 ) 推论：f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 常见解析函数的泰勒展开式 （中心z 0 = 0 z_0=0 z 0 = 0 e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! = 1 + z + z 2 2 ! + z 3 3 ! + ⋯ e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots e z = ∑ n = 0 ∞ n ! z n = 1 + z + 2 ! z 2 + 3 ! z 3 + ⋯ ∣ z ∣ < ∞ |z|<\infty ∣ z ∣ < ∞
sin z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = z − z 3 3 ! + z 5 5 ! − ⋯ \sin z=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots sin z = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n z 2 n + 1 = z − 3 ! z 3 + 5 ! z 5 − ⋯ ∣ z ∣ < ∞ |z|<\infty ∣ z ∣ < ∞
1 1 − z = ∑ n = 0 ∞ z n = 1 + z + z 2 + ⋯ \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n=1+z+z^2+\cdots 1 − z 1 = ∑ n = 0 ∞ z n = 1 + z + z 2 + ⋯ ∣ z ∣ < 1 |z|<1 ∣ z ∣ < 1
工程应用：泰勒级数展开 —— 电磁场的近似计算
电气工程 ：均匀电场中导体球的电场近似。某导体球（半径a a a E 0 \boldsymbol{E}_0 E 0 f ( z ) = − E 0 ( z − a 2 z ) + ⋯ f(z)=-E_0\left(z-\frac{a^2}{z}\right)+\cdots f ( z ) = − E 0 ( z − z a 2 ) + ⋯ z z z ∣ z ∣ > a |z|>a ∣ z ∣ > a z ≫ a z\gg a z ≫ a f ( z ) ≈ − E 0 z f(z)\approx -E_0 z f ( z ) ≈ − E 0 z E ≈ E 0 \boldsymbol{E}\approx \boldsymbol{E}_0 E ≈ E 0 z z z a a a a 2 z \frac{a^2}{z} z a 2 E ≈ − E 0 ( 1 + a 2 z 2 ) \boldsymbol{E}\approx -E_0\left(1+\frac{a^2}{z^2}\right) E ≈ − E 0 ( 1 + z 2 a 2 ) E s = 2 E 0 \boldsymbol{E}_s=2\boldsymbol{E}_0 E s = 2 E 0 洛朗定理 ：设f ( z ) f(z) f ( z ) D : R 1 < ∣ z − z 0 ∣ < R 2 D:R_1<|z-z_0|<R_2 D : R 1 < ∣ z − z 0 ∣ < R 2 R 1 ≥ 0 R_1\geq0 R 1 ≥ 0 R 2 ≤ ∞ R_2\leq\infty R 2 ≤ ∞ f ( z ) f(z) f ( z ) D D D f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − z 0 ) n f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − z 0 ) n c n = 1 2 π i ∮ C f ( ζ ) ( ζ − z 0 ) n + 1 d ζ c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta c n = 2 πi 1 ∮ C ( ζ − z 0 ) n + 1 f ( ζ ) d ζ C C C D D D z 0 z_0 z 0 与泰勒级数的区别：洛朗级数含负幂次项，适用于圆环域（如奇点周围的区域），泰勒级数仅含非负幂次项，适用于单连通区域内的解析点邻域。 洛朗级数的展开方法 ：直接法：通过洛朗系数公式计算c n c_n c n
间接法：利用已知的泰勒展开式，通过变量代换、四则运算、逐项微分 / 积分等方法展开（工程中常用），如1 z ( 1 − z ) = 1 z ∑ n = 0 ∞ z n = ∑ n = − 1 ∞ z n \frac{1}{z(1-z)}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^\infty z^n=\sum_{n=-1}^\infty z^n z ( 1 − z ) 1 = z 1 ∑ n = 0 ∞ z n = ∑ n = − 1 ∞ z n 0 < ∣ z ∣ < 1 0<|z|<1 0 < ∣ z ∣ < 1
工程应用：洛朗级数 —— 量子力学中的波函数表示
物理学 / 工程物理 ：氢原子的波函数展开。氢原子中电子的波函数ψ ( z ) \psi(z) ψ ( z ) z z z 0 < ∣ z ∣ < ∞ 0<|z|<\infty 0 < ∣ z ∣ < ∞ ψ ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n z n \psi(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n z^n ψ ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n z n n < 0 n<0 n < 0 z z z n > 0 n>0 n > 0 z z z c n c_n c n c − 1 c_{-1} c − 1 z ≈ 1 z\approx1 z ≈ 1 教材定位 ：留数是复变函数积分的核心工具，将复杂的复积分转化为留数的计算，大幅简化工程中 “环路积分”“实积分”“傅里叶积分” 的求解，是复变函数应用最广泛的章节之一，覆盖电路、信号、机械振动等多个领域。
孤立奇点的定义 ：若f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ z 0 z_0 z 0 z 0 z_0 z 0 f ( z ) f(z) f ( z )
孤立奇点的分类 （根据洛朗级数的负幂次项）：
可去奇点：洛朗级数不含负幂次项，即f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ lim z → z 0 f ( z ) = c 0 \lim_{z\to z_0}f(z)=c_0 lim z → z 0 f ( z ) = c 0
极点：洛朗级数含有限个负幂次项，设最高负幂次为m m m m ≥ 1 m\geq1 m ≥ 1 f ( z ) = c − m ( z − z 0 ) m + ⋯ + c − 1 z − z 0 + ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n f(z)=\frac{c_{-m}}{(z-z_0)^m}+\cdots+\frac{c_{-1}}{z-z_0}+\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n f ( z ) = ( z − z 0 ) m c − m + ⋯ + z − z 0 c − 1 + ∑ n = 0 ∞ c n ( z − z 0 ) n z 0 z_0 z 0 m m m lim z → z 0 f ( z ) = ∞ \lim_{z\to z_0}f(z)=\infty lim z → z 0 f ( z ) = ∞
本性奇点：洛朗级数含无穷多个负幂次项，lim z → z 0 f ( z ) \lim_{z\to z_0}f(z) lim z → z 0 f ( z ) ∞ \infty ∞ f ( z ) = e 1 / z f(z)=e^{1/z} f ( z ) = e 1/ z z = 0 z=0 z = 0
奇点类型的判定方法 ：可去奇点：lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) = 0 \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0 lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) = 0
m m m lim z → z 0 ( z − z 0 ) m f ( z ) = C \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^m f(z)=C lim z → z 0 ( z − z 0 ) m f ( z ) = C C C C lim z → z 0 ( z − z 0 ) m − 1 f ( z ) = 0 \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{m-1} f(z)=0 lim z → z 0 ( z − z 0 ) m − 1 f ( z ) = 0
本性奇点：lim z → z 0 ( z − z 0 ) n f ( z ) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^n f(z) lim z → z 0 ( z − z 0 ) n f ( z ) ∞ \infty ∞ n n n
工程应用：孤立奇点分类 —— 电路的谐振频率分析
电气工程 ：RLC 串联电路的阻抗奇点。电路阻抗Z ( z ) = 1 z C + 1 R + 1 z L = z L z 2 L C + L R z + 1 Z(z)=\frac{1}{zC+\frac{1}{R}+\frac{1}{zL}}=\frac{zL}{z^2 LC + \frac{L}{R}z + 1} Z ( z ) = z C + R 1 + z L 1 1 = z 2 L C + R L z + 1 z L z = j ω z=j\omega z = jω D ( z ) = z 2 L C + L R z + 1 D(z)=z^2 LC + \frac{L}{R}z + 1 D ( z ) = z 2 L C + R L z + 1 z 1 , 2 = − L R ± ( L R ) 2 − 4 L C 2 L C z_{1,2}=\frac{-\frac{L}{R}\pm\sqrt{(\frac{L}{R})^2 - 4LC}}{2LC} z 1 , 2 = 2 L C − R L ± ( R L ) 2 − 4 L C ( L R ) 2 − 4 L C < 0 (\frac{L}{R})^2 - 4LC<0 ( R L ) 2 − 4 L C < 0 z 1 , 2 z_{1,2} z 1 , 2 ∣ Z ( z ) ∣ = L ω ( 1 − ω 2 L C ) 2 + ( ω L R ) 2 |Z(z)|=\frac{L\omega}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\frac{\omega L}{R})^2}} ∣ Z ( z ) ∣ = ( 1 − ω 2 L C ) 2 + ( R ω L ) 2 L ω ω = 1 L C \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}} ω = L C 1 R R R L = 1 m H L=1mH L = 1 m H C = 1 μ F C=1\mu F C = 1 μ F ω 0 = 10 5 r a d / s \omega_0=10^5 rad/s ω 0 = 1 0 5 r a d / s f 0 ≈ 15.9 k H z f_0\approx15.9kHz f 0 ≈ 15.9 k Hz 留数的定义 ：设z 0 z_0 z 0 f ( z ) f(z) f ( z ) C C C 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ z 0 z_0 z 0 f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 Res [ f ( z ) , z 0 ] = 1 2 π i ∮ C f ( z ) d z \text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dz Res [ f ( z ) , z 0 ] = 2 πi 1 ∮ C f ( z ) d z f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 c − 1 c_{-1} c − 1
留数的计算方法 ：
可去奇点：Res [ f ( z ) , z 0 ] = 0 \text{Res}[f(z),z_0]=0 Res [ f ( z ) , z 0 ] = 0
m m m
公式 1（m = 1 m=1 m = 1 Res [ f ( z ) , z 0 ] = lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) \text{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) Res [ f ( z ) , z 0 ] = lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) f ( z ) = P ( z ) Q ( z ) f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} f ( z ) = Q ( z ) P ( z ) P ( z 0 ) ≠ 0 P(z_0)\neq0 P ( z 0 ) = 0 Q ( z 0 ) = 0 Q(z_0)=0 Q ( z 0 ) = 0 Q ′ ( z 0 ) ≠ 0 Q'(z_0)\neq0 Q ′ ( z 0 ) = 0 Res [ f ( z ) , z 0 ] = P ( z 0 ) Q ′ ( z 0 ) \text{Res}[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} Res [ f ( z ) , z 0 ] = Q ′ ( z 0 ) P ( z 0 )
公式 2（m ≥ 2 m\geq2 m ≥ 2 m m m Res [ f ( z ) , z 0 ] = 1 ( m − 1 ) ! lim z → z 0 d m − 1 d z m − 1 [ ( z − z 0 ) m f ( z ) ] \text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right] Res [ f ( z ) , z 0 ] = ( m − 1 )! 1 lim z → z 0 d z m − 1 d m − 1 [ ( z − z 0 ) m f ( z ) ]
本性奇点：通过洛朗级数展开，直接读取负一次幂项的系数c − 1 c_{-1} c − 1 f ( z ) = e 1 / z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n f(z)=e^{1/z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! z^n} f ( z ) = e 1/ z = ∑ n = 0 ∞ n ! z n 1 Res [ f ( z ) , 0 ] = c − 1 = 1 \text{Res}[f(z),0]=c_{-1}=1 Res [ f ( z ) , 0 ] = c − 1 = 1
工程应用：留数计算 —— 机械振动的共振能量
机械工程 ：单自由度振动系统的共振能量。系统的复振幅响应H ( z ) = 1 m z 2 + c z + k H(z)=\frac{1}{m z^2 + c z + k} H ( z ) = m z 2 + cz + k 1 z = j ω z=j\omega z = jω m m m c c c k k k Q ( z ) = m z 2 + c z + k Q(z)=m z^2 + c z + k Q ( z ) = m z 2 + cz + k z 1 , 2 = − c ± c 2 − 4 m k 2 m z_{1,2}=\frac{-c\pm\sqrt{c^2 - 4mk}}{2m} z 1 , 2 = 2 m − c ± c 2 − 4 mk c c c c 2 ≪ 4 m k c^2\ll4mk c 2 ≪ 4 mk z 1 , 2 ≈ − j c 2 m ± j k m z_{1,2}\approx -j\frac{c}{2m}\pm j\sqrt{\frac{k}{m}} z 1 , 2 ≈ − j 2 m c ± j m k Res [ H ( z ) , z 1 ] = 1 Q ′ ( z 1 ) = 1 2 m z 1 + c ≈ 1 2 j m k m = 1 2 j m k \text{Res}[H(z),z_1]=\frac{1}{Q'(z_1)}=\frac{1}{2m z_1 + c}\approx\frac{1}{2j m \sqrt{\frac{k}{m}}}=\frac{1}{2j\sqrt{mk}} Res [ H ( z ) , z 1 ] = Q ′ ( z 1 ) 1 = 2 m z 1 + c 1 ≈ 2 jm m k 1 = 2 j mk 1 ∣ Res [ H ( z ) , z 1 ] ∣ 2 |\text{Res}[H(z),z_1]|^2 ∣ Res [ H ( z ) , z 1 ] ∣ 2 E ∝ 1 4 m k E\propto\frac{1}{4mk} E ∝ 4 mk 1 m m m k k k m m m k k k m m m 留数定理 ：设f ( z ) f(z) f ( z ) D D D z 1 , z 2 , … , z n z_1,z_2,\dots,z_n z 1 , z 2 , … , z n C C C D D D ∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res [ f ( z ) , z k ] \oint_C f(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}[f(z),z_k] ∮ C f ( z ) d z = 2 πi ∑ k = 1 n Res [ f ( z ) , z k ] 意义：将复积分的计算转化为奇点处留数的求和，大幅简化积分过程，是复变函数积分的 “万能工具”。 留数定理的应用场景 ：有理函数的无穷积分：∫ − ∞ ∞ R ( x ) d x \int_{-\infty}^\infty R(x)dx ∫ − ∞ ∞ R ( x ) d x R ( x ) R(x) R ( x ) ∮ C R ( z ) d z \oint_C R(z)dz ∮ C R ( z ) d z C C C ∫ − ∞ ∞ R ( x ) d x = 2 π i ∑ k = 1 n Res [ R ( z ) , z k ] \int_{-\infty}^\infty R(x)dx=2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}[R(z),z_k] ∫ − ∞ ∞ R ( x ) d x = 2 πi ∑ k = 1 n Res [ R ( z ) , z k ] z k z_k z k R ( z ) R(z) R ( z )
含三角函数的无穷积分：∫ − ∞ ∞ R ( x ) cos a x d x \int_{-\infty}^\infty R(x)\cos ax dx ∫ − ∞ ∞ R ( x ) cos a x d x ∫ − ∞ ∞ R ( x ) sin a x d x \int_{-\infty}^\infty R(x)\sin ax dx ∫ − ∞ ∞ R ( x ) sin a x d x a > 0 a>0 a > 0 R ( x ) R(x) R ( x ) Re ( ∫ − ∞ ∞ R ( x ) e i a x d x ) \text{Re}\left(\int_{-\infty}^\infty R(x)e^{iax}dx\right) Re ( ∫ − ∞ ∞ R ( x ) e ia x d x ) Im ( ∫ − ∞ ∞ R ( x ) e i a x d x ) \text{Im}\left(\int_{-\infty}^\infty R(x)e^{iax}dx\right) Im ( ∫ − ∞ ∞ R ( x ) e ia x d x )
实轴上有奇点的积分：需绕开奇点（取小半圆辅助路径），计算主值积分。
辅助路径的选择：根据被积函数的奇点分布与三角函数的周期性，选择半圆、扇形、矩形等辅助路径（如含e i a z e^{iaz} e ia z e i a z e^{iaz} e ia z a < 0 a<0 a < 0
积分路径的闭合：确保辅助路径上的积分趋于 0（如半圆路径的积分，当∣ z ∣ → ∞ |z|\to\infty ∣ z ∣ → ∞ ∣ R ( z ) e i a z ∣ → 0 |R(z)e^{iaz}|\to0 ∣ R ( z ) e ia z ∣ → 0
工程近似：当积分区间有限时，可通过留数定理计算无穷积分，再结合实际区间截断误差（如∫ − 10 10 1 x 2 + 1 d x ≈ π \int_{-10}^{10} \frac{1}{x^2 + 1}dx\approx\pi ∫ − 10 10 x 2 + 1 1 d x ≈ π
教材定位 ：共形映射是复变函数的几何应用，通过保角、保伸缩率的映射将复杂区域转化为简单区域（如单位圆、上半平面），简化工程中 “复杂边界的电磁场”“流体流动”“热传导” 等问题的分析，是复变函数在工程几何领域的核心工具。
导数的几何意义与保角性 ：伸缩率：设f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 f ′ ( z 0 ) ≠ 0 f'(z_0)\neq0 f ′ ( z 0 ) = 0 z 0 z_0 z 0 C C C f f f w 0 = f ( z 0 ) w_0=f(z_0) w 0 = f ( z 0 ) ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ |f'(z_0)| ∣ f ′ ( z 0 ) ∣
旋转角：曲线C C C z 0 z_0 z 0 C ′ C' C ′ w 0 w_0 w 0 arg ( f ′ ( z 0 ) ) \arg(f'(z_0)) arg ( f ′ ( z 0 ))
保角性：若f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0 f ′ ( z 0 ) ≠ 0 f'(z_0)\neq0 f ′ ( z 0 ) = 0 f ( z ) f(z) f ( z ) z 0 z_0 z 0
共形映射的定义 ：若f ( z ) f(z) f ( z ) D D D f ′ ( z ) ≠ 0 f'(z)\neq0 f ′ ( z ) = 0 z ∈ D z\in D z ∈ D f ( z ) f(z) f ( z ) D D D
共形映射的性质 ：
共形映射是单叶映射（一一对应）；
两个共形映射的复合仍为共形映射；
共形映射的逆映射仍为共形映射。
分式线性映射的定义与形式 ：形如w = a z + b c z + d w=\frac{az + b}{cz + d} w = cz + d a z + b a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d a d − b c ≠ 0 ad - bc\neq0 a d − b c = 0 特殊情况：当c = 0 c=0 c = 0 w = a d z + b d w=\frac{a}{d}z + \frac{b}{d} w = d a z + d b b = 0 , d = 0 b=0,d=0 b = 0 , d = 0 w = a c z w=\frac{a}{c z} w = cz a 分式线性映射的性质 ：共形性：在复平面内除z = − d c z=-\frac{d}{c} z = − c d
保圆性：将复平面内的圆（或直线）映射为圆（或直线）（直线可视为半径无穷大的圆）；
保对称性：若点z 1 , z 2 z_1,z_2 z 1 , z 2 C C C w 1 = f ( z 1 ) , w 2 = f ( z 2 ) w_1=f(z_1),w_2=f(z_2) w 1 = f ( z 1 ) , w 2 = f ( z 2 ) C ′ = f ( C ) C'=f(C) C ′ = f ( C )
分式线性映射的确定 ：由三个不共线的点唯一确定，即给定z z z z 1 , z 2 , z 3 z_1,z_2,z_3 z 1 , z 2 , z 3 w w w w 1 , w 2 , w 3 w_1,w_2,w_3 w 1 , w 2 , w 3 f ( z k ) = w k f(z_k)=w_k f ( z k ) = w k k = 1 , 2 , 3 k=1,2,3 k = 1 , 2 , 3 w − w 1 w − w 2 ⋅ w 3 − w 2 w 3 − w 1 = z − z 1 z − z 2 ⋅ z 3 − z 2 z 3 − z 1 \frac{w - w_1}{w - w_2} \cdot \frac{w_3 - w_2}{w_3 - w_1} = \frac{z - z_1}{z - z_2} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_3 - z_1} w − w 2 w − w 1 ⋅ w 3 − w 1 w 3 − w 2 = z − z 2 z − z 1 ⋅ z 3 − z 1 z 3 − z 2 工程应用：分式线性映射 —— 传输线的阻抗变换
电气工程 ：同轴传输线的阻抗匹配。某同轴传输线的负载阻抗Z L Z_L Z L z z z z = Z L z=Z_L z = Z L w = Z − Z 0 Z + Z 0 w=\frac{Z - Z_0}{Z + Z_0} w = Z + Z 0 Z − Z 0 Z 0 Z_0 Z 0 w w w w = Γ w=\Gamma w = Γ z z z w w w ∣ Γ ∣ = 1 |\Gamma|=1 ∣Γ∣ = 1 z z z w w w Re ( Γ ) > 0 \text{Re}(\Gamma)>0 Re ( Γ ) > 0 Z L = 3 Z 0 Z_L=3Z_0 Z L = 3 Z 0 Γ = 3 Z 0 − Z 0 3 Z 0 + Z 0 = 0.5 \Gamma=\frac{3Z_0 - Z_0}{3Z_0 + Z_0}=0.5 Γ = 3 Z 0 + Z 0 3 Z 0 − Z 0 = 0.5 ∣ Γ ∣ = 0.5 < 1 |\Gamma|=0.5<1 ∣Γ∣ = 0.5 < 1 Z L = 0 Z_L=0 Z L = 0 Γ = − 1 \Gamma=-1 Γ = − 1 ∣ Γ ∣ = 1 |\Gamma|=1 ∣Γ∣ = 1 Γ \Gamma Γ 幂函数与根式函数 ：幂函数w = z n w=z^n w = z n n n n z ≠ 0 z\neq0 z = 0 z z z 0 < arg ( z ) < α 0<\arg(z)<\alpha 0 < arg ( z ) < α α < 2 π n \alpha<\frac{2\pi}{n} α < n 2 π w w w 0 < arg ( w ) < n α 0<\arg(w)<n\alpha 0 < arg ( w ) < n α n n n
根式函数w = z 1 / n w=z^{1/n} w = z 1/ n n n n z z z 0 < arg ( z ) < n α 0<\arg(z)<n\alpha 0 < arg ( z ) < n α w w w 0 < arg ( w ) < α 0<\arg(w)<\alpha 0 < arg ( w ) < α 1 n \frac{1}{n} n 1
指数函数与对数函数 ：指数函数w = e z w=e^z w = e z z z z 0 < Im ( z ) < α 0<\text{Im}(z)<\alpha 0 < Im ( z ) < α α < 2 π \alpha<2\pi α < 2 π w w w 0 < arg ( w ) < α 0<\arg(w)<\alpha 0 < arg ( w ) < α
对数函数w = ln z w=\ln z w = ln z z z z 0 < arg ( z ) < α 0<\arg(z)<\alpha 0 < arg ( z ) < α w w w 0 < Im ( w ) < α 0<\text{Im}(w)<\alpha 0 < Im ( w ) < α
正弦函数与余弦函数 ：正弦函数w = sin z w=\sin z w = sin z z ≠ π 2 + k π z\neq\frac{\pi}{2}+k\pi z = 2 π + kπ k k k z z z − π 2 < Re ( z ) < π 2 -\frac{\pi}{2}<\text{Re}(z)<\frac{\pi}{2} − 2 π < Re ( z ) < 2 π w w w ∣ w ∣ ≥ 1 |w|\geq1 ∣ w ∣ ≥ 1
余弦函数w = cos z w=\cos z w = cos z w = sin ( z + π 2 ) w=\sin(z + \frac{\pi}{2}) w = sin ( z + 2 π )
电磁场计算：将复杂导体边界（如带棱角的导体）映射为简单边界（如圆形导体），简化电场分布计算；
流体力学：将不规则流场区域映射为矩形或圆形区域，求解流体的速度与压力分布；
热传导：将复杂形状的散热部件映射为简单区域，分析温度分布与热流密度。
应用案例：共形映射求解带电平板的电场
电气工程 ：无限长带电平板的电场。z z z x = ± a x=\pm a x = ± a y ∈ R y\in\mathbb{R} y ∈ R w = ln ( z − a z + a ) w=\ln\left(\frac{z - a}{z + a}\right) w = ln ( z + a z − a ) w w w − π < Im ( w ) < π -\pi<\text{Im}(w)<\pi − π < Im ( w ) < π x = ± a x=\pm a x = ± a Im ( w ) = ± π \text{Im}(w)=\pm\pi Im ( w ) = ± π Im ( w ) = 常数 \text{Im}(w)=\text{常数} Im ( w ) = 常数 E \boldsymbol{E} E ∣ w ′ ( z ) ∣ |w'(z)| ∣ w ′ ( z ) ∣ w ′ ( z ) = 2 a z 2 − a 2 w'(z)=\frac{2a}{z^2 - a^2} w ′ ( z ) = z 2 − a 2 2 a ∣ E ∣ ∝ 2 a ∣ z 2 − a 2 ∣ |\boldsymbol{E}|\propto\frac{2a}{|z^2 - a^2|} ∣ E ∣ ∝ ∣ z 2 − a 2 ∣ 2 a z = ± a z=\pm a z = ± a 教材定位 ：傅里叶变换是连接时域与频域的核心工具，将时域信号转化为频域频谱，实现 “时域分析难、频域分析易” 的转化，广泛应用于通信、信号处理、电路分析等领域，是工程中处理周期性与非周期性信号的基础。
傅里叶积分定理 ：设f ( t ) f(t) f ( t ) ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) ( − ∞ , ∞ ) ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^\infty |f(t)|dt<\infty ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ f ( t ) f(t) f ( t ) f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) e − i ω τ d τ ] e i ω t d ω f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(\tau)e^{-i\omega \tau}d\tau\right]e^{i\omega t}d\omega f ( t ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) e − iω τ d τ ] e iω t d ω
傅里叶变换对 ：
傅里叶变换（正变换）：F ( ω ) = F [ f ( t ) ] = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt F ( ω ) = F [ f ( t )] = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − iω t d t F ( ω ) F(\omega) F ( ω ) f ( t ) f(t) f ( t ) ω \omega ω
傅里叶逆变换（逆变换）：f ( t ) = F − 1 [ F ( ω ) ] = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega f ( t ) = F − 1 [ F ( ω )] = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e iω t d ω f ( t ) f(t) f ( t ) F ( ω ) F(\omega) F ( ω )
工程中常用简化形式（省略1 2 π \frac{1}{2\pi} 2 π 1 f = ω 2 π f=\frac{\omega}{2\pi} f = 2 π ω F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i 2 π f t d t F(f)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i2\pi f t}dt F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i 2 π f t d t f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ F ( f ) e i 2 π f t d f f(t)=\int_{-\infty}^\infty F(f)e^{i2\pi f t}df f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ F ( f ) e i 2 π f t df
常见信号的傅里叶变换 ：矩形脉冲信号：f ( t ) = { A , ∣ t ∣ < τ 2 0 , ∣ t ∣ > τ 2 f(t)=\begin{cases}A, & |t|<\frac{\tau}{2} \\ 0, & |t|>\frac{\tau}{2}\end{cases} f ( t ) = { A , 0 , ∣ t ∣ < 2 τ ∣ t ∣ > 2 τ F ( ω ) = A τ Sa ( ω τ 2 ) F(\omega)=A\tau \text{Sa}\left(\frac{\omega \tau}{2}\right) F ( ω ) = A τ Sa ( 2 ω τ ) Sa ( x ) = sin x x \text{Sa}(x)=\frac{\sin x}{x} Sa ( x ) = x s i n x
指数衰减信号：f ( t ) = { e − β t , t > 0 0 , t < 0 f(t)=\begin{cases}e^{-\beta t}, & t>0 \\ 0, & t<0\end{cases} f ( t ) = { e − βt , 0 , t > 0 t < 0 β > 0 \beta>0 β > 0 F ( ω ) = 1 β + i ω F(\omega)=\frac{1}{\beta + i\omega} F ( ω ) = β + iω 1
单位冲激信号：f ( t ) = δ ( t ) f(t)=\delta(t) f ( t ) = δ ( t ) δ \delta δ F ( ω ) = 1 F(\omega)=1 F ( ω ) = 1
工程应用：傅里叶变换 —— 信号的频谱分析
通信工程 ：矩形脉冲信号的带宽设计。某数字通信系统的基带信号为矩形脉冲，τ = 0.1 m s \tau=0.1ms τ = 0.1 m s A = 1 V A=1V A = 1 V F ( ω ) = 0.1 × 10 − 3 Sa ( ω × 0.1 × 10 − 3 2 ) F(\omega)=0.1\times10^{-3} \text{Sa}\left(\frac{\omega \times 0.1\times10^{-3}}{2}\right) F ( ω ) = 0.1 × 1 0 − 3 Sa ( 2 ω × 0.1 × 1 0 − 3 ) Δ ω = 4 π τ = 4 π 0.1 × 10 − 3 = 4 π × 10 3 rad/s \Delta\omega=\frac{4\pi}{\tau}=\frac{4\pi}{0.1\times10^{-3}}=4\pi\times10^3 \text{rad/s} Δ ω = τ 4 π = 0.1 × 1 0 − 3 4 π = 4 π × 1 0 3 rad/s Δ f = Δ ω 2 π = 2 k H z \Delta f=\frac{\Delta\omega}{2\pi}=2kHz Δ f = 2 π Δ ω = 2 k Hz 线性性质 ：F [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) ] = a F 1 ( ω ) + b F 2 ( ω ) \mathcal{F}[a f_1(t) + b f_2(t)]=a F_1(\omega) + b F_2(\omega) F [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F 1 ( ω ) + b F 2 ( ω ) a , b a,b a , b
时移性质 ：F [ f ( t − t 0 ) ] = e − i ω t 0 F ( ω ) \mathcal{F}[f(t - t_0)]=e^{-i\omega t_0} F(\omega) F [ f ( t − t 0 )] = e − iω t 0 F ( ω ) t 0 t_0 t 0 − ω t 0 -\omega t_0 − ω t 0
频移性质 ：F [ f ( t ) e i ω 0 t ] = F ( ω − ω 0 ) \mathcal{F}[f(t)e^{i\omega_0 t}]=F(\omega - \omega_0) F [ f ( t ) e i ω 0 t ] = F ( ω − ω 0 ) e i ω 0 t e^{i\omega_0 t} e i ω 0 t ω 0 \omega_0 ω 0
时域微分性质 ：F [ f ′ ( t ) ] = i ω F ( ω ) \mathcal{F}[f'(t)]=i\omega F(\omega) F [ f ′ ( t )] = iω F ( ω ) F [ f ( n ) ( t ) ] = ( i ω ) n F ( ω ) \mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(i\omega)^n F(\omega) F [ f ( n ) ( t )] = ( iω ) n F ( ω )
频域微分性质 ：F [ − i t f ( t ) ] = F ′ ( ω ) \mathcal{F}[-i t f(t)]=F'(\omega) F [ − i t f ( t )] = F ′ ( ω ) F [ ( − i t ) n f ( t ) ] = F ( n ) ( ω ) \mathcal{F}[(-i t)^n f(t)]=F^{(n)}(\omega) F [( − i t ) n f ( t )] = F ( n ) ( ω )
卷积定理 ：
时域卷积：F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 1 ( ω ) F 2 ( ω ) \mathcal{F}[f_1(t) * f_2(t)]=F_1(\omega) F_2(\omega) F [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t )] = F 1 ( ω ) F 2 ( ω ) f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^\infty f_1(\tau)f_2(t - \tau)d\tau f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
频域卷积：F [ f 1 ( t ) f 2 ( t ) ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω ) \mathcal{F}[f_1(t) f_2(t)]=\frac{1}{2\pi} F_1(\omega) * F_2(\omega) F [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] = 2 π 1 F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω )
工程意义：时域信号通过线性系统的响应（输入与系统冲激响应的卷积），等价于频域输入频谱与系统频率响应的乘积，大幅简化系统分析。
工程应用：卷积定理 —— 线性系统的响应计算
电气工程 ：RC 电路的阶跃响应。RC 串联电路的系统冲激响应h ( t ) = 1 R C e − t R C h(t)=\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}} h ( t ) = RC 1 e − RC t t > 0 t>0 t > 0 H ( ω ) = 1 1 + i ω R C H(\omega)=\frac{1}{1 + i\omega RC} H ( ω ) = 1 + iω RC 1 f ( t ) = u ( t ) f(t)=u(t) f ( t ) = u ( t ) u ( t ) u(t) u ( t ) F ( ω ) = π δ ( ω ) + 1 i ω F(\omega)=\pi \delta(\omega) + \frac{1}{i\omega} F ( ω ) = π δ ( ω ) + iω 1 Y ( ω ) = F ( ω ) H ( ω ) = ( π δ ( ω ) + 1 i ω ) 1 1 + i ω R C Y(\omega)=F(\omega) H(\omega)=\left(\pi \delta(\omega) + \frac{1}{i\omega}\right)\frac{1}{1 + i\omega RC} Y ( ω ) = F ( ω ) H ( ω ) = ( π δ ( ω ) + iω 1 ) 1 + iω RC 1 y ( t ) = 1 − e − t R C y(t)=1 - e^{-\frac{t}{RC}} y ( t ) = 1 − e − RC t t > 0 t>0 t > 0 信号滤波 ：通过设计滤波器的频率响应H ( ω ) H(\omega) H ( ω ) H ( ω ) = { 1 , ∣ ω ∣ < ω c 0 , ∣ ω ∣ > ω c H(\omega)=\begin{cases}1, & |\omega|<\omega_c \\ 0, & |\omega|>\omega_c\end{cases} H ( ω ) = { 1 , 0 , ∣ ω ∣ < ω c ∣ ω ∣ > ω c ω c \omega_c ω c
微分方程求解 ：将时域微分方程通过傅里叶变换转化为频域代数方程，求解后再逆变换回时域；
图像处理 ：对图像的像素信号进行傅里叶变换，分析图像的频率成分（低频对应图像轮廓，高频对应细节），实现图像去噪、增强等处理。
应用案例：傅里叶变换求解微分方程
机械工程 ：弹簧 - 质量 - 阻尼系统的振动方程。系统的振动方程为m f ′ ′ ( t ) + c f ′ ( t ) + k f ( t ) = F 0 δ ( t ) m f''(t) + c f'(t) + k f(t)=F_0 \delta(t) m f ′′ ( t ) + c f ′ ( t ) + k f ( t ) = F 0 δ ( t ) F 0 F_0 F 0 δ ( t ) \delta(t) δ ( t ) ( i ω ) 2 m F ( ω ) + i ω c F ( ω ) + k F ( ω ) = F 0 (i\omega)^2 m F(\omega) + i\omega c F(\omega) + k F(\omega)=F_0 ( iω ) 2 m F ( ω ) + iω c F ( ω ) + k F ( ω ) = F 0 F ( ω ) = F 0 − m ω 2 + i ω c + k F(\omega)=\frac{F_0}{-m \omega^2 + i\omega c + k} F ( ω ) = − m ω 2 + iω c + k F 0 f ( t ) = F 0 m ω d e − β t sin ( ω d t ) f(t)=\frac{F_0}{m \omega_d} e^{-\beta t} \sin(\omega_d t) f ( t ) = m ω d F 0 e − βt sin ( ω d t ) t > 0 t>0 t > 0 β = c 2 m \beta=\frac{c}{2m} β = 2 m c ω d = k m − β 2 \omega_d=\sqrt{\frac{k}{m} - \beta^2} ω d = m k − β 2 教材定位 ：拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，通过引入衰减因子解决了非绝对可积信号（如指数增长信号）的变换问题，且能直接处理初始条件，是工程中求解线性微分方程、分析线性系统（尤其是控制系统）的核心工具。
拉普拉斯变换的定义 ：设f ( t ) f(t) f ( t ) t ≥ 0 t\geq0 t ≥ 0 F ( s ) = ∫ 0 ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t F(s)=\int_{0^\infty}^\infty f(t)e^{-st}dt F ( s ) = ∫ 0 ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t 0 ∞ 0^\infty 0 ∞ t → 0 + t\to0^+ t → 0 + s = σ + i ω s=\sigma + i\omega s = σ + iω σ \sigma σ ω \omega ω s s s F ( s ) F(s) F ( s ) f ( t ) f(t) f ( t ) F ( s ) = L [ f ( t ) ] F(s)=\mathcal{L}[f(t)] F ( s ) = L [ f ( t )]
拉普拉斯逆变换：f ( t ) = L − 1 [ F ( s ) ] = 1 2 π i ∫ σ − i ∞ σ + i ∞ F ( s ) e s t d s f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s)e^{st}ds f ( t ) = L − 1 [ F ( s )] = 2 πi 1 ∫ σ − i ∞ σ + i ∞ F ( s ) e s t d s
收敛域：使拉普拉斯变换积分收敛的复变量s s s f ( t ) = e − β t u ( t ) f(t)=e^{-\beta t}u(t) f ( t ) = e − βt u ( t ) β > 0 \beta>0 β > 0 Re ( s ) > β \text{Re}(s)>\beta Re ( s ) > β
常见函数的拉普拉斯变换 ：单位冲激函数：L [ δ ( t ) ] = 1 \mathcal{L}[\delta(t)]=1 L [ δ ( t )] = 1 s s s
单位阶跃函数：L [ u ( t ) ] = 1 s \mathcal{L}[u(t)]=\frac{1}{s} L [ u ( t )] = s 1 Re ( s ) > 0 \text{Re}(s)>0 Re ( s ) > 0
指数函数：L [ e a t u ( t ) ] = 1 s − a \mathcal{L}[e^{at}u(t)]=\frac{1}{s - a} L [ e a t u ( t )] = s − a 1 Re ( s ) > Re ( a ) \text{Re}(s)>\text{Re}(a) Re ( s ) > Re ( a )
正弦函数：L [ sin ( ω 0 t ) u ( t ) ] = ω 0 s 2 + ω 0 2 \mathcal{L}[\sin(\omega_0 t)u(t)]=\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} L [ sin ( ω 0 t ) u ( t )] = s 2 + ω 0 2 ω 0 Re ( s ) > 0 \text{Re}(s)>0 Re ( s ) > 0
幂函数：L [ t n u ( t ) ] = n ! s n + 1 \mathcal{L}[t^n u(t)]=\frac{n!}{s^{n+1}} L [ t n u ( t )] = s n + 1 n ! n n n Re ( s ) > 0 \text{Re}(s)>0 Re ( s ) > 0
线性性质 ：L [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t ) ] = a F 1 ( s ) + b F 2 ( s ) \mathcal{L}[a f_1(t) + b f_2(t)]=a F_1(s) + b F_2(s) L [ a f 1 ( t ) + b f 2 ( t )] = a F 1 ( s ) + b F 2 ( s )
时移性质 ：L [ f ( t − t 0 ) u ( t − t 0 ) ] = e − s t 0 F ( s ) \mathcal{L}[f(t - t_0)u(t - t_0)]=e^{-s t_0} F(s) L [ f ( t − t 0 ) u ( t − t 0 )] = e − s t 0 F ( s ) t 0 > 0 t_0>0 t 0 > 0 t ≥ t 0 t\geq t_0 t ≥ t 0
复频移性质 ：L [ e a t f ( t ) u ( t ) ] = F ( s − a ) \mathcal{L}[e^{a t} f(t)u(t)]=F(s - a) L [ e a t f ( t ) u ( t )] = F ( s − a )
时域微分性质 ：
一阶微分：L [ f ′ ( t ) ] = s F ( s ) − f ( 0 + ) \mathcal{L}[f'(t)]=s F(s) - f(0^+) L [ f ′ ( t )] = s F ( s ) − f ( 0 + )
二阶微分：L [ f ′ ′ ( t ) ] = s 2 F ( s ) − s f ( 0 + ) − f ′ ( 0 + ) \mathcal{L}[f''(t)]=s^2 F(s) - s f(0^+) - f'(0^+) L [ f ′′ ( t )] = s 2 F ( s ) − s f ( 0 + ) − f ′ ( 0 + )
n n n L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 + ) − s n − 2 f ′ ( 0 + ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 + ) \mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=s^n F(s) - s^{n-1} f(0^+) - s^{n-2} f'(0^+) - \cdots - f^{(n-1)}(0^+) L [ f ( n ) ( t )] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 + ) − s n − 2 f ′ ( 0 + ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 + )
关键优势：直接包含初始条件，无需额外求解初始值，大幅简化微分方程求解；
时域积分性质 ：L [ ∫ 0 t ∞ f ( τ ) d τ ] = 1 s F ( s ) \mathcal{L}\left[\int_{0^t}^\infty f(\tau)d\tau\right]=\frac{1}{s} F(s) L [ ∫ 0 t ∞ f ( τ ) d τ ] = s 1 F ( s )
卷积定理 ：L [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) \mathcal{L}[f_1(t) * f_2(t)]=F_1(s) F_2(s) L [ f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t )] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) f 1 ( t ) , f 2 ( t ) f_1(t),f_2(t) f 1 ( t ) , f 2 ( t ) t < 0 t<0 t < 0
工程应用：时域微分性质 —— 微分方程的求解
机械工程 ：RL 电路的暂态分析。RL 串联电路的电压方程为L d i ( t ) d t + R i ( t ) = U 0 u ( t ) L \frac{di(t)}{dt} + R i(t)=U_0 u(t) L d t d i ( t ) + R i ( t ) = U 0 u ( t ) U 0 U_0 U 0 i ( 0 + ) = 0 i(0^+)=0 i ( 0 + ) = 0 L [ s I ( s ) − i ( 0 + ) ] + R I ( s ) = U 0 s L [s I(s) - i(0^+)] + R I(s)=\frac{U_0}{s} L [ s I ( s ) − i ( 0 + )] + R I ( s ) = s U 0 i ( 0 + ) = 0 i(0^+)=0 i ( 0 + ) = 0 I ( s ) = U 0 s ( L s + R ) = U 0 R ( 1 s − 1 s + R L ) I(s)=\frac{U_0}{s(L s + R)}=\frac{U_0}{R}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + \frac{R}{L}}\right) I ( s ) = s ( L s + R ) U 0 = R U 0 ( s 1 − s + L R 1 ) i ( t ) = U 0 R ( 1 − e − R L t ) u ( t ) i(t)=\frac{U_0}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)u(t) i ( t ) = R U 0 ( 1 − e − L R t ) u ( t ) i ( 0 + ) = I 0 i(0^+)=I_0 i ( 0 + ) = I 0 L I 0 L I_0 L I 0 查表法 ：利用常见函数的拉普拉斯变换表，结合变换性质（如线性、复频移），直接查找逆变换（工程中最常用）；
部分分式展开法 ：当F ( s ) = N ( s ) D ( s ) F(s)=\frac{N(s)}{D(s)} F ( s ) = D ( s ) N ( s ) N ( s ) , D ( s ) N(s),D(s) N ( s ) , D ( s ) deg ( N ( s ) ) < deg ( D ( s ) ) \deg(N(s))<\deg(D(s)) deg ( N ( s )) < deg ( D ( s )) F ( s ) F(s) F ( s )
情况 1：D ( s ) D(s) D ( s ) s = a s=a s = a A s − a \frac{A}{s - a} s − a A A = lim s → a ( s − a ) F ( s ) A=\lim_{s\to a}(s - a)F(s) A = lim s → a ( s − a ) F ( s )
情况 2：D ( s ) D(s) D ( s ) s = α ± i β s=\alpha\pm i\beta s = α ± i β A s + B ( s − α ) 2 + β 2 \frac{A s + B}{(s - \alpha)^2 + \beta^2} ( s − α ) 2 + β 2 A s + B C s − α − i β + C ‾ s − α + i β \frac{C}{s - \alpha - i\beta} + \frac{\overline{C}}{s - \alpha + i\beta} s − α − i β C + s − α + i β C C ‾ \overline{C} C C C C 2 ∣ C ∣ e α t cos ( β t + arg ( C ) ) 2|C|e^{\alpha t}\cos(\beta t + \arg(C)) 2∣ C ∣ e α t cos ( βt + arg ( C ))
情况 3：D ( s ) D(s) D ( s ) m m m s = a s=a s = a A 1 s − a + A 2 ( s − a ) 2 + ⋯ + A m ( s − a ) m \frac{A_1}{s - a} + \frac{A_2}{(s - a)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(s - a)^m} s − a A 1 + ( s − a ) 2 A 2 + ⋯ + ( s − a ) m A m A k = 1 ( m − k ) ! lim s → a d m − k d s m − k [ ( s − a ) m F ( s ) ] A_k=\frac{1}{(m - k)!}\lim_{s\to a}\frac{d^{m - k}}{ds^{m - k}}\left[(s - a)^m F(s)\right] A k = ( m − k )! 1 lim s → a d s m − k d m − k [ ( s − a ) m F ( s ) ] k = 1 , 2 , ⋯ , m k=1,2,\cdots,m k = 1 , 2 , ⋯ , m e a t ( A 1 + A 2 t + ⋯ + A m ( m − 1 ) ! t m − 1 ) e^{a t}\left(A_1 + A_2 t + \cdots + \frac{A_m}{(m - 1)!}t^{m - 1}\right) e a t ( A 1 + A 2 t + ⋯ + ( m − 1 )! A m t m − 1 )
留数定理法 ：当F ( s ) e s t F(s)e^{st} F ( s ) e s t f ( t ) = ∑ k = 1 n Res [ F ( s ) e s t , s k ] f(t)=\sum_{k=1}^n \text{Res}[F(s)e^{st},s_k] f ( t ) = ∑ k = 1 n Res [ F ( s ) e s t , s k ] s k s_k s k 线性微分方程与方程组求解 ：线性系统的传递函数分析 ：传递函数定义：线性时不变系统的传递函数G ( s ) = Y ( s ) X ( s ) G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} G ( s ) = X ( s ) Y ( s ) Y ( s ) Y(s) Y ( s ) X ( s ) X(s) X ( s )
系统特性：通过传递函数的极点分布判断系统稳定性（极点全部在左半s s s
电路分析中的复阻抗法 ：拉普拉斯域中的元件阻抗：电阻R R R R R R L L L s L sL s L s L + L i ( 0 + ) sL + Li(0^+) s L + L i ( 0 + ) C C C 1 s C \frac{1}{sC} s C 1 1 s C + u ( 0 + ) s \frac{1}{sC} + \frac{u(0^+)}{s} s C 1 + s u ( 0 + )
应用：将时域电路转化为拉普拉斯域电路，利用欧姆定律、基尔霍夫定律求解，避免时域微分方程的复杂推导。
基础理论层 ：复数与复变函数（第 1 章）为全书基础，建立复数运算与几何表示；解析函数（第 2 章）通过柯西 - 黎曼条件揭示复变函数的核心性质，是后续积分、级数的理论前提。
工具方法层 ：复变函数的积分（第 3 章）、幂级数表示（第 4 章）、留数（第 5 章）构成复变函数的核心运算工具，解决复杂积分与级数展开问题；共形映射（第 6 章）提供几何转化方法，简化复杂区域的工程分析。
工程应用层 ：傅里叶变换（第 7 章）、拉普拉斯变换（第 8 章）是连接复变函数与工程实践的桥梁，分别适用于信号频谱分析、线性系统的时域 - 频域转化，覆盖通信、电路、控制、机械等多个领域。
复数与解析函数 ：重点掌握复数运算在电路阻抗、电磁场复势中的应用，解析函数的柯西 - 黎曼条件对应工程中的 “无旋场”“无散场” 特性。
积分与留数 ：留数定理是计算工程中环路积分、实积分的核心工具，尤其适用于信号能量谱、系统共振能量的计算。
变换方法 ：傅里叶变换聚焦信号的频域分析，解决滤波、调制问题；拉普拉斯变换侧重线性系统的动态分析，处理微分方程与传递函数，是控制系统设计的基础。
重视基础关联 ：复数的几何表示与解析函数的保角性、留数定理与积分计算、变换方法与工程系统分析，需建立 “理论 - 工具 - 应用” 的逻辑链，避免孤立学习。
强化工程实践 ：针对每类变换（傅里叶、拉普拉斯），结合具体工程案例（如电路响应、信号滤波），通过 “计算 - 验证 - 优化” 的流程，掌握其在实际问题中的应用步骤。
善用软件辅助 ：复杂的积分计算、变换求解可借助 MATLAB（如fft函数计算傅里叶变换、laplace函数计算拉普拉斯变换），提高效率的同时，验证手动计算结果的正确性。
本书作为工程数学的核心教材，其知识点贯穿电气、自动化、通信、机械等多个专业的后续课程，掌握复变函数的理论体系与应用方法，能为解决工程中的复杂动态问题、信号分析问题提供关键的数学支撑，是工程技术人员必备的数学工具之一。
3Blue1Brown 线性代数的本质全16章 一个小时速通线性代数全概念
线性代数到底是什么？
线性代数的本质
你写的不是公式，是他们所奉献的一生！（1.2版本 数学物理史年表） https://www.bilibili.com/video/BV1tM411g7fg/
数学导论
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重新发明轮子？美籍华裔数学教授希望人类都能这样去思考 （由一元二次方程的另一种解法引申出创新）
[[数学导论]]
[!info] 对数运算到底方便在哪里？_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1b8411373c/?spm_id_from=333.999.0.0
